Номер 6, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. На рисунке 13 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 2]$. Вычислите интеграл $\int_{-1}^{2} f(x)dx$.

Рис. 13

Определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Поскольку на заданном промежутке интегрирования $[-1, 2]$ график функции $f(x)$ находится выше оси $Ox$, значение интеграла будет равно площади фигуры под графиком.

Для вычисления площади разобьем фигуру, ограниченную графиком, осью $Ox$ и прямыми $x=-1$ и $x=2$, на две более простые геометрические фигуры: трапецию на отрезке $[-1, 0]$ и треугольник на отрезке $[0, 2]$.

1. Площадь трапеции на отрезке $[-1, 0]$.
Эта фигура представляет собой прямоугольную трапецию. Её основаниями служат значения функции в точках $x=-1$ и $x=0$. Из графика видно, что вершина находится в точке $(0, 4)$, значит, $f(0) = 4$. Чтобы найти $f(-1)$, определим уравнение прямой на отрезке $[-4, 0]$. Прямая проходит через точки $(-4, 0)$ и $(0, 4)$. Её угловой коэффициент $k = \frac{4-0}{0-(-4)} = 1$. Уравнение прямой: $y = x+4$. Тогда $f(-1) = -1 + 4 = 3$. Основания трапеции равны 3 и 4, а высота равна $0 - (-1) = 1$. Площадь трапеции $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = \frac{a+b}{2}h = \frac{3+4}{2} \cdot 1 = \frac{7}{2} = 3.5$

2. Площадь треугольника на отрезке $[0, 2]$.
Эта фигура представляет собой прямоугольный треугольник. Его основание лежит на оси $Ox$ и равно $2-0=2$. Высота треугольника равна значению функции в точке $x=0$, то есть $f(0)=4$. Площадь треугольника $S_2$ вычисляется по формуле: $S_2 = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$

Искомое значение интеграла равно сумме площадей этих двух фигур: $\int_{-1}^{2} f(x)dx = S_1 + S_2 = 3.5 + 4 = 7.5$

Ответ: 7.5