Номер 1, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Элементы теории вероятностей

1. Бросают игральный кубик. Событие А состоит в том, что выпавшее число является чётным, событие В – выпавшее число не меньше трёх. Найдите вероятность события:

1) $\overline{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

При бросании игрального кубика возможно 6 равновероятных исходов. Пространство элементарных событий: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Общее число исходов $n=6$.

Событие A — «выпавшее число является чётным». Этому событию благоприятствуют исходы {2, 4, 6}. Число благоприятствующих исходов $m_A = 3$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Событие B — «выпавшее число не меньше трёх». Этому событию благоприятствуют исходы {3, 4, 5, 6}. Число благоприятствующих исходов $m_B = 4$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

1) Ā;

Событие $\bar{A}$ (не А) является противоположным событию A. Оно означает, что «выпавшее число является нечётным». Этому событию благоприятствуют исходы {1, 3, 5}. Число благоприятствующих исходов $m_{\bar{A}} = 3$. Вероятность события $\bar{A}$ можно найти по формуле: $P(\bar{A}) = \frac{m_{\bar{A}}}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Также можно использовать формулу вероятности противоположного события: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1/2$

2) A ∩ B;

Событие $A \cap B$ (пересечение A и B) означает, что события A и B происходят одновременно. То есть, «выпавшее число является чётным И не меньше трёх». Этому событию благоприятствуют исходы, которые входят и в множество A, и в множество B. $A = \{2, 4, 6\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Пересечение множеств: $A \cap B = \{4, 6\}$. Число благоприятствующих исходов $m_{A \cap B} = 2$. Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{m_{A \cap B}}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$

3) A ∪ B.

Событие $A \cup B$ (объединение A и B) означает, что происходит хотя бы одно из событий A или B. То есть, «выпавшее число является чётным ИЛИ не меньше трёх». Этому событию благоприятствуют исходы, которые входят хотя бы в одно из множеств A или B. $A = \{2, 4, 6\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Объединение множеств: $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$. Число благоприятствующих исходов $m_{A \cup B} = 5$. Вероятность события $A \cup B$: $P(A \cup B) = \frac{m_{A \cup B}}{n} = \frac{5}{6}$. Вероятность этого события также можно найти по формуле сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $5/6$