Номер 2, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Решите неравенство:

1) $5 \cdot 3^x - 4 \cdot 3^{x-1} \geq 99$;

2) $2 \log_{0.8}(-x) \geq \log_{0.8}(10x + 24)$.

1) $5 \cdot 3^x - 4 \cdot 3^{x-1} \ge 99$

Сначала преобразуем неравенство, используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$5 \cdot 3^x - 4 \cdot \frac{3^x}{3} \ge 99$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки, чтобы упростить выражение:

$3^x \left(5 - \frac{4}{3}\right) \ge 99$

Выполним вычитание в скобках:

$3^x \left(\frac{15}{3} - \frac{4}{3}\right) \ge 99$

$3^x \cdot \frac{11}{3} \ge 99$

Чтобы выделить $3^x$, умножим обе части неравенства на $\frac{3}{11}$. Так как это число положительное, знак неравенства не изменится:

$3^x \ge 99 \cdot \frac{3}{11}$

$3^x \ge 9 \cdot 3$

$3^x \ge 27$

Представим число 27 в виде степени с основанием 3:

$3^x \ge 3^3$

Так как основание степени $3$ больше 1, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x \ge 3$

Ответ: $[3, +\infty)$

2) $2\log_{0,8}(-x) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

Решение начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} -x > 0 \\ 10x + 24 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} x < 0 \\ 10x > -24 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -2.4 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-2.4, 0)$.

Теперь преобразуем левую часть исходного неравенства, используя свойство логарифма $n \log_b a = \log_b (a^n)$:

$\log_{0,8}((-x)^2) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

$\log_{0,8}(x^2) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

Основание логарифма равно $0.8$, что находится в интервале $(0, 1)$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 \le 10x + 24$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 - 10x - 24 \le 0$

Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 10x - 24 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2} = 12$

Графиком функции $y = x^2 - 10x - 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями. Таким образом, решение квадратного неравенства: $x \in [-2, 12]$.

На последнем шаге необходимо учесть ОДЗ, найденную вначале. Найдем пересечение множеств $x \in [-2, 12]$ и $x \in (-2.4, 0)$:

$\begin{cases} x \in [-2, 12] \\ x \in (-2.4, 0) \end{cases} \implies x \in [-2, 0)$

Ответ: $[-2, 0)$