Номер 1, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Решите уравнение:

1) $36^x - 9 \cdot 6^x + 18 = 0$;

2) $\lg(x-3) + \lg(x+45) = 2$.

1) $36^x - 9 \cdot 6^x + 18 = 0$

Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному. Заметим, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 9t + 18 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: сумма корней равна 9, а их произведение равно 18. Корни легко подбираются: $t_1 = 3$ и $t_2 = 6$.

Либо можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2}$

$t_1 = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$t_2 = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 3$, то $6^x = 3$. По определению логарифма, $x = \log_6 3$.

2. Если $t = 6$, то $6^x = 6$. Так как $6 = 6^1$, то $x = 1$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; \log_6 3$.

2) $\lg(x-3) + \lg(x+45) = 2$

Это логарифмическое уравнение. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой все выражения под знаком логарифма положительны:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 45 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -45 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 3$.

Теперь решим само уравнение. Воспользуемся свойством логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\lg((x-3)(x+45)) = 2$

По определению десятичного логарифма (логарифма по основанию 10):

$(x-3)(x+45) = 10^2$

$(x-3)(x+45) = 100$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 45x - 3x - 135 = 100$

$x^2 + 42x - 135 - 100 = 0$

$x^2 + 42x - 235 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-235) = 1764 + 940 = 2704$

$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 \pm 52}{2}$

$x_1 = \frac{-42 - 52}{2} = \frac{-94}{2} = -47$

$x_2 = \frac{-42 + 52}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$).

Корень $x_1 = -47$ не удовлетворяет условию $x > 3$, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x > 3$ ($5 > 3$), следовательно, это и есть решение уравнения.

Ответ: $5$.