Номер 4, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Игральный кубик подбрасывают шесть раз. Какова вероятность того, что двойка выпадет:

1) хотя бы один раз;

2) четыре раза?

Это задача на применение формулы Бернулли для серии независимых испытаний. Вероятность успеха (выпадение двойки) в одном испытании (броске кубика) равна $p = \frac{1}{6}$. Вероятность неудачи (выпадение любой другой грани) равна $q = 1 - p = \frac{5}{6}$. Всего проводится $n=6$ испытаний.

1) хотя бы один раз;

Событие "двойка выпадет хотя бы один раз" является противоположным событию "двойка не выпадет ни разу". Проще найти вероятность противоположного события и вычесть ее из единицы.

Вероятность того, что двойка не выпадет ни разу в 6 бросках (то есть 0 успехов), вычисляется по формуле Бернулли при $k=0$:

$P_6(0) = C_6^0 \cdot p^0 \cdot q^{6-0} = 1 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^6 = (\frac{5}{6})^6$

Вычислим это значение:

$P_6(0) = \frac{5^6}{6^6} = \frac{15625}{46656}$

Тогда искомая вероятность того, что двойка выпадет хотя бы один раз, равна:

$P(A) = 1 - P_6(0) = 1 - \frac{15625}{46656} = \frac{46656 - 15625}{46656} = \frac{31031}{46656}$

Ответ: $\frac{31031}{46656}$

2) четыре раза?

Здесь нам нужно найти вероятность того, что в $n=6$ испытаниях произойдет ровно $k=4$ успеха. Используем формулу Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Подставляем наши значения: $n=6, k=4, p=\frac{1}{6}, q=\frac{5}{6}$.

$P_6(4) = C_6^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{6-4} = C_6^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^2$

Вычислим число сочетаний $C_6^4$:

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Теперь подставим все в формулу:

$P_6(4) = 15 \cdot \frac{1^4}{6^4} \cdot \frac{5^2}{6^2} = 15 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{25}{36} = \frac{15 \cdot 25}{6^6} = \frac{375}{46656}$

Сократим полученную дробь. Числитель $375 = 3 \cdot 125$, знаменатель $46656 = 3 \cdot 15552$.

$\frac{375}{46656} = \frac{125}{15552}$

Ответ: $\frac{125}{15552}$