Номер 4, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите первообразную функции $f(x) = 4\sin 4x + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}$, график которой проходит через точку $A \left( \frac{\pi}{3}; -1 \right)$.

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 4\sin(4x) + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$, график которой проходит через заданную точку, необходимо выполнить два шага. Сначала найти общий вид первообразной (неопределенный интеграл), а затем, используя координаты точки, найти значение постоянной интегрирования.

1. Нахождение общего вида первообразной

Общий вид первообразной $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:
$F(x) = \int f(x)dx = \int (4\sin(4x) + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2})dx$

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:
$F(x) = \int 4\sin(4x)dx + \int \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}dx$

Используем табличные интегралы $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)$ и $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx)$.
Для первого слагаемого $k=4$:
$\int 4\sin(4x)dx = 4 \cdot (-\frac{1}{4}\cos(4x)) = -\cos(4x)$
Для второго слагаемого $k=\frac{1}{2}$:
$\int \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/2}\sin\frac{x}{2} = \sin\frac{x}{2}$

Таким образом, общий вид первообразной для функции $f(x)$ равен:
$F(x) = -\cos(4x) + \sin\frac{x}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Нахождение постоянной интегрирования C

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $A(\frac{\pi}{3}; -1)$. Это значит, что при $x = \frac{\pi}{3}$, значение $F(x)$ равно $-1$. Подставим эти значения в найденную формулу для $F(x)$:
$F(\frac{\pi}{3}) = -1$
$-\cos(4 \cdot \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi/3}{2}) + C = -1$
$-\cos(\frac{4\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{6}) + C = -1$

Вычислим значения тригонометрических функций:
$\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение:
$-(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + C = -1$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C = -1$
$1 + C = -1$

Отсюда находим $C$:
$C = -1 - 1 = -2$

3. Запись искомой первообразной

Подставляем найденное значение $C=-2$ в общий вид первообразной:
$F(x) = -\cos(4x) + \sin\frac{x}{2} - 2$

Ответ: $F(x) = -\cos(4x) + \sin(\frac{x}{2}) - 2$