gdz.top
Номер 2, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Тема. Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства - номер 2, страница 105.
№1
№2 (с. 105)
Условие. №2 (с. 105)
2. Решите уравнение:
1) $2^x + 2^{x-3} = 72;$
2) $9^x - 2 \cdot 3^x = 63.$
Решение. №2 (с. 105)
1) $2^x + 2^{x-3} = 72$
Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и преобразуем второе слагаемое:
$2^{x-3} = 2^x \cdot 2^{-3} = 2^x \cdot \frac{1}{2^3} = \frac{2^x}{8}$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2^x + \frac{2^x}{8} = 72$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 72$
Вычислим значение в скобках:
$2^x \cdot \frac{9}{8} = 72$
Теперь выразим $2^x$:
$2^x = 72 : \frac{9}{8} = 72 \cdot \frac{8}{9}$
$2^x = 8 \cdot 8 = 64$
Так как $64 = 2^6$, получаем:
$2^x = 2^6$
Отсюда $x = 6$.
Ответ: $x=6$.
2) $9^x - 2 \cdot 3^x = 63$
Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Подставим это в уравнение:
$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x = 63$
Это уравнение является квадратным относительно $3^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Поскольку основание степени 3 положительно, то $y > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - 2y - 63 = 0$
Решим его. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 2, а их произведение равно -63. Легко подобрать корни:
$y_1 = 9$
$y_2 = -7$
Корень $y_2 = -7$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним.
Остается один корень $y_1 = 9$.
Выполним обратную замену:
$3^x = 9$
Так как $9 = 3^2$, получаем:
$3^x = 3^2$
Отсюда $x=2$.
Ответ: $x=2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 105 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 105), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.