Номер 2, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Решите уравнение:

1) $\log_{0,1}(10x-7) = -1$;

2) $\log_8(3x+4) = \log_8(x^2 - 4x - 14).$

1) $ \log_{0,1}(10x - 7) = -1 $

Вначале найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 10x - 7 > 0 $

$ 10x > 7 $

$ x > \frac{7}{10} $

$ x > 0,7 $

Теперь решим уравнение, используя основное логарифмическое тождество: если $ \log_a b = c $, то $ a^c = b $.

Применительно к нашему уравнению:

$ 10x - 7 = (0,1)^{-1} $

Вычислим правую часть:

$ (0,1)^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10 $

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$ 10x - 7 = 10 $

$ 10x = 10 + 7 $

$ 10x = 17 $

$ x = \frac{17}{10} = 1,7 $

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 1,7 > 0,7 $, корень подходит.

Ответ: $1,7$

2) $ \log_8(3x + 4) = \log_8(x^2 - 4x - 14) $

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять выражения, стоящие под знаком логарифма. Но сначала необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ), для которой оба выражения положительны.

$ \begin{cases} 3x + 4 > 0 \\ x^2 - 4x - 14 > 0 \end{cases} $

Решив эту систему, мы найдем ОДЗ. Однако, поскольку мы приравниваем выражения ($ 3x + 4 = x^2 - 4x - 14 $), достаточно проверить положительность только одного из них для найденных корней. Выберем более простое: $ 3x + 4 > 0 $.

Приравняем аргументы логарифмов:

$ 3x + 4 = x^2 - 4x - 14 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 - 4x - 3x - 14 - 4 = 0 $

$ x^2 - 7x - 18 = 0 $

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -18, а их сумма равна 7.

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -18 \end{cases} $

Подбором находим корни: $ x_1 = 9 $ и $ x_2 = -2 $.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли эти корни ОДЗ. Подставим их в неравенство $ 3x + 4 > 0 $.

Для $ x_1 = 9 $:

$ 3(9) + 4 = 27 + 4 = 31 $. Так как $ 31 > 0 $, этот корень подходит.

Для $ x_2 = -2 $:

$ 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2 $. Так как $ -2 \le 0 $, этот корень является посторонним и не входит в решение.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $9$