Номер 4, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Вычислите значение выражения $\frac{\log_8 128 - \log_8 2}{2\log_6 2 + \log_6 9}$.

Для вычисления значения выражения $\frac{\log_8 128 - \log_8 2}{2\log_6 2 + \log_6 9}$ необходимо поочередно упростить числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов.

Упрощение числителя

В числителе находится разность логарифмов с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_8 128 - \log_8 2 = \log_8 \frac{128}{2} = \log_8 64$.

Теперь вычислим значение полученного логарифма. Логарифм $\log_8 64$ — это степень, в которую нужно возвести основание 8, чтобы получить 64. Так как $8^2 = 64$, то:

$\log_8 64 = 2$.

Таким образом, значение числителя равно 2.

Упрощение знаменателя

В знаменателе находится выражение $2\log_6 2 + \log_6 9$. Сначала применим свойство логарифма степени: $n \log_a b = \log_a b^n$.

$2\log_6 2 = \log_6 2^2 = \log_6 4$.

Теперь выражение в знаменателе имеет вид $\log_6 4 + \log_6 9$. Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36$.

Вычислим значение полученного логарифма. Логарифм $\log_6 36$ — это степень, в которую нужно возвести основание 6, чтобы получить 36. Так как $6^2 = 36$, то:

$\log_6 36 = 2$.

Таким образом, значение знаменателя равно 2.

Вычисление итогового значения

Теперь, когда мы нашли значения числителя и знаменателя, мы можем вычислить значение всего выражения, разделив значение числителя на значение знаменателя.

$\frac{\log_8 128 - \log_8 2}{2\log_6 2 + \log_6 9} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1.