Номер 1, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Интеграл и его применение

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$;

2) $\int_{-2}^{-1} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.
Первообразная для подынтегральной функции $ f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} $ является табличным интегралом:
$ F(x) = \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования от 0 до $ \frac{\pi}{4} $:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0) $.
Вычислим значения тангенса в этих точках:
$ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $
$ \tan(0) = 0 $
Подставим найденные значения в выражение:
$ 1 - 0 = 1 $.
Ответ: 1.

2) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{-2}^{-1} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx $ также воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \frac{1}{x^2} + 1 $. Для этого представим $ \frac{1}{x^2} $ в виде степенной функции $ x^{-2} $ и проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:
$ F(x) = \int \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx = \int (x^{-2} + 1) dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + x = \frac{x^{-1}}{-1} + x = -\frac{1}{x} + x $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования от -2 до -1:
$ \int_{-2}^{-1} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx = \left(-\frac{1}{x} + x\right) \bigg|_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{(-1)} + (-1)\right) - \left(-\frac{1}{(-2)} + (-2)\right) $.
Выполним вычисления:
$ (1 - 1) - \left(\frac{1}{2} - 2\right) = 0 - \left(\frac{1}{2} - \frac{4}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} $.