Номер 8, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Постройте график функции $y = \sqrt{\lg \cos x}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{\lg \cos x}$ необходимо сначала найти её область определения.

Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, а выражение под знаком логарифма положительно. Это приводит к системе неравенств: $\begin{cases} \lg \cos x \ge 0 \\ \cos x > 0 \end{cases}$.

Рассмотрим первое неравенство: $\lg \cos x \ge 0$. Так как основание десятичного логарифма (10) больше 1, это неравенство равносильно неравенству $\cos x \ge 10^0$, то есть $\cos x \ge 1$.

Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $\cos x$ не может быть больше 1. Единственная возможность, удовлетворяющая одновременно условиям $\cos x \ge 1$ и $\cos x \le 1$, — это равенство $\cos x = 1$.

Если $\cos x = 1$, то второе условие системы, $\cos x > 0$, выполняется автоматически. Следовательно, область определения функции состоит из всех значений $x$, для которых $\cos x = 1$.

Решением уравнения $\cos x = 1$ является серия корней $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь найдём значения функции $y$ в этих точках. Подставляя $\cos x = 1$ в исходное уравнение, получаем:$y = \sqrt{\lg(1)} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, функция определена только в дискретных точках $x = 2\pi n$, и во всех этих точках её значение равно 0. Графиком функции является множество изолированных точек с координатами $(2\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти точки лежат на оси абсцисс. Например, это точки: ..., $(-4\pi, 0)$, $(-2\pi, 0)$, $(0, 0)$, $(2\pi, 0)$, $(4\pi, 0)$, ...

Ответ: Графиком функции $y = \sqrt{\lg \cos x}$ является множество изолированных точек, лежащих на оси Ox с координатами $(2\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.