Номер 1, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона

1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{6P_{11} - P_{10}}{13P_9}$;

2) $\frac{C_7^4}{A_6^3}$.

1)

Для решения данного выражения воспользуемся определением перестановки $P_n$, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.

Подставим это определение в исходное выражение:
$\frac{6P_{11} - P_{10}}{13P_9} = \frac{6 \cdot 11! - 10!}{13 \cdot 9!}$

Чтобы упростить выражение, представим факториалы в числителе через наименьший факториал в выражении, то есть через $9!$.
$11! = 11 \cdot 10 \cdot 9!$
$10! = 10 \cdot 9!$

Теперь подставим эти значения обратно в дробь:
$\frac{6 \cdot (11 \cdot 10 \cdot 9!) - (10 \cdot 9!)}{13 \cdot 9!}$

Вынесем общий множитель $9!$ в числителе за скобки:
$\frac{9! \cdot (6 \cdot 11 \cdot 10 - 10)}{13 \cdot 9!}$

Сократим $9!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{6 \cdot 11 \cdot 10 - 10}{13} = \frac{660 - 10}{13} = \frac{650}{13}$

Выполним деление:
$\frac{650}{13} = 50$

Ответ: 50

2)

Для решения этого выражения необходимо использовать формулы для числа сочетаний $C_n^k$ и числа размещений $A_n^k$.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Сначала вычислим значение числителя $C_7^4$:
$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35$.

Теперь вычислим значение знаменателя $A_6^3$:
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.

Подставим полученные значения в исходную дробь:
$\frac{C_7^4}{A_6^3} = \frac{35}{120}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:
$\frac{35}{120} = \frac{35 \div 5}{120 \div 5} = \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{7}{24}$