Номер 6, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. В 11 классе учатся 14 девочек и 13 мальчиков. Сколько существует способов сформировать команду из 6 человек для участия в спортивной эстафете, если в команде должно быть 3 девочки и 3 мальчика?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Поскольку порядок выбора учеников для команды не важен, мы будем применять формулу для числа сочетаний. Процесс формирования команды можно разделить на два независимых этапа: выбор девочек и выбор мальчиков. Общее количество способов будет равно произведению числа способов на каждом этапе.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

1. Найдем количество способов выбрать 3 девочки из 14.

В классе 14 девочек, и нам нужно выбрать 3 из них. Подставляем значения в формулу сочетаний, где $n=14$ и $k=3$.

$C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$

Таким образом, существует 364 способа выбрать 3 девочки для команды.

2. Найдем количество способов выбрать 3 мальчика из 13.

В классе 13 мальчиков, и нам нужно выбрать 3 из них. Подставляем значения в формулу, где $n=13$ и $k=3$.

$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3!10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$

Таким образом, существует 286 способов выбрать 3 мальчика для команды.

3. Найдем общее количество способов сформировать команду.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов сформировать команду, необходимо перемножить количество способов выбора девочек и количество способов выбора мальчиков.

Общее число способов = (число способов выбрать девочек) $\times$ (число способов выбрать мальчиков)

$N = C_{14}^3 \times C_{13}^3 = 364 \times 286 = 104104$

Следовательно, существует 104104 способа сформировать команду из 3 девочек и 3 мальчиков.

Ответ: 104104