Номер 1, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Решите уравнение:

1) $25^x - 8 \cdot 5^x + 15 = 0;$

2) $\log_4(x+3) + \log_4(x+15) = 3.$

1) $25^x - 8 \cdot 5^x + 15 = 0$

Представим $25^x$ как $(5^2)^x = (5^x)^2$. Уравнение примет вид:

$(5^x)^2 - 8 \cdot 5^x + 15 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то для новой переменной должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение становится квадратным:

$t^2 - 8t + 15 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = 8$.

Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 15$.

Отсюда находим корни: $t_1 = 3$, $t_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = 3$: $5^x = 3$. По определению логарифма, $x = \log_5 3$.

2. Для $t_2 = 5$: $5^x = 5$. Так как $5 = 5^1$, то $x = 1$.

Ответ: $1; \log_5 3$.

2) $\log_4(x+3) + \log_4(x+15) = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Аргументы логарифмических функций должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 15 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > -15 \end{cases}$

Общим решением системы неравенств является $x > -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-3, +\infty)$.

На ОДЗ преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_4((x+3)(x+15)) = 3$

Используя определение логарифма (если $\log_a b = c$, то $b = a^c$), получим:

$(x+3)(x+15) = 4^3$

$(x+3)(x+15) = 64$

Раскроем скобки в левой части и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 15x + 3x + 45 = 64$

$x^2 + 18x + 45 - 64 = 0$

$x^2 + 18x - 19 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -18$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -19$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -19$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x > -3$):

- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > -3$, следовательно, является решением исходного уравнения.

- Корень $x_2 = -19$ не удовлетворяет условию $-19 > -3$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: $1$.