Страница 110 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Решите уравнение:

1) $25^x - 8 \cdot 5^x + 15 = 0;$

2) $\log_4(x+3) + \log_4(x+15) = 3.$

1) $25^x - 8 \cdot 5^x + 15 = 0$

Представим $25^x$ как $(5^2)^x = (5^x)^2$. Уравнение примет вид:

$(5^x)^2 - 8 \cdot 5^x + 15 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то для новой переменной должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение становится квадратным:

$t^2 - 8t + 15 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = 8$.

Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 15$.

Отсюда находим корни: $t_1 = 3$, $t_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = 3$: $5^x = 3$. По определению логарифма, $x = \log_5 3$.

2. Для $t_2 = 5$: $5^x = 5$. Так как $5 = 5^1$, то $x = 1$.

Ответ: $1; \log_5 3$.

2) $\log_4(x+3) + \log_4(x+15) = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Аргументы логарифмических функций должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 15 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > -15 \end{cases}$

Общим решением системы неравенств является $x > -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-3, +\infty)$.

На ОДЗ преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_4((x+3)(x+15)) = 3$

Используя определение логарифма (если $\log_a b = c$, то $b = a^c$), получим:

$(x+3)(x+15) = 4^3$

$(x+3)(x+15) = 64$

Раскроем скобки в левой части и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 15x + 3x + 45 = 64$

$x^2 + 18x + 45 - 64 = 0$

$x^2 + 18x - 19 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -18$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -19$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -19$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x > -3$):

- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > -3$, следовательно, является решением исходного уравнения.

- Корень $x_2 = -19$ не удовлетворяет условию $-19 > -3$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: $1$.

2. Решите неравенство:

1) $11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^{x-1} \ge 136;$

2) $2 \log_{0.7} x \le \log_{0.7}(9 - 8x).$

1) $11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^{x-1} \ge 136$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x \cdot 2^{-1} \ge 136$

$11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x \cdot \frac{1}{2} \ge 136$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \cdot (11 - \frac{5}{2}) \ge 136$

Упростим выражение в скобках:

$2^x \cdot (\frac{22 - 5}{2}) \ge 136$

$2^x \cdot \frac{17}{2} \ge 136$

Чтобы выделить $2^x$, умножим обе части неравенства на $\frac{2}{17}$ (знак неравенства не меняется, так как множитель положительный):

$2^x \ge 136 \cdot \frac{2}{17}$

Так как $136 : 17 = 8$, получаем:

$2^x \ge 8 \cdot 2$

$2^x \ge 16$

Представим число 16 в виде степени с основанием 2:

$2^x \ge 2^4$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, для показателей степеней выполняется неравенство с тем же знаком:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

2) $2\log_{0.7} x \le \log_{0.7}(9-8x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ 9 - 8x > 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$9 > 8x$

$x < \frac{9}{8}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{9}{8})$.

Теперь решим исходное неравенство. Применим свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$ к левой части:

$\log_{0.7} (x^2) \le \log_{0.7}(9-8x)$

Основание логарифма $0.7$ меньше 1 ($0 < 0.7 < 1$), поэтому логарифмическая функция $y=\log_{0.7}t$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов логарифмов знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 \ge 9 - 8x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 + 8x - 9 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -8, а их произведение равно -9. Корнями являются $x_1=1$ и $x_2=-9$.

Графиком функции $y = x^2 + 8x - 9$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня:

$x \in (-\infty; -9] \cup [1; +\infty)$

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (0; \frac{9}{8})$:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -9] \cup [1; +\infty) \\ x \in (0; \frac{9}{8}) \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является промежуток $[1; \frac{9}{8})$.

Ответ: $x \in [1; \frac{9}{8})$.

3. Найдите уравнение касательной к графику функции $y = 8x - 5e^{-3x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = 8x - 5e^{-3x}$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = 8 \cdot 0 - 5e^{-3 \cdot 0} = 0 - 5e^0 = 0 - 5 \cdot 1 = -5$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (8x - 5e^{-3x})' = (8x)' - (5e^{-3x})'$.

Производная $(8x)' = 8$.

Для нахождения производной $(5e^{-3x})'$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(e^u)' = e^u \cdot u'$. В нашем случае $u = -3x$, поэтому $u' = -3$.

$(5e^{-3x})' = 5 \cdot e^{-3x} \cdot (-3) = -15e^{-3x}$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = 8 - (-15e^{-3x}) = 8 + 15e^{-3x}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(x_0) = f'(0) = 8 + 15e^{-3 \cdot 0} = 8 + 15e^0 = 8 + 15 \cdot 1 = 23$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = -5$ и $f'(x_0) = 23$ в уравнение касательной:

$y = -5 + 23(x - 0)$

$y = -5 + 23x$

$y = 23x - 5$

Ответ: $y = 23x - 5$.

4. Найдите первообразную функции $f(x) = 10 \cos 10x - \frac{1}{5} \sin \frac{x}{5}$, график которой проходит через точку $B\left(\frac{5\pi}{2}; -3\right)$.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 10\cos(10x) - \frac{1}{5}\sin(\frac{x}{5})$ необходимо найти её неопределённый интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ определяется формулой:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (10\cos(10x) - \frac{1}{5}\sin(\frac{x}{5})) dx$.

Интегрируем каждое слагаемое отдельно, используя основные правила и табличные интегралы:
$F(x) = \int 10\cos(10x) dx - \int \frac{1}{5}\sin(\frac{x}{5}) dx$.
Для первого слагаемого, используя формулу $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx)$, получаем:
$\int 10\cos(10x) dx = 10 \cdot \frac{1}{10}\sin(10x) = \sin(10x)$.
Для второго слагаемого, используя формулу $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)$, получаем:
$\int \frac{1}{5}\sin(\frac{x}{5}) dx = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{1/5}\cos(\frac{x}{5})) = -\cos(\frac{x}{5})$.
Таким образом, общий вид первообразной:
$F(x) = \sin(10x) - (-\cos(\frac{x}{5})) + C = \sin(10x) + \cos(\frac{x}{5}) + C$, где $C$ — константа интегрирования.

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $B(\frac{5\pi}{2}, -3)$. Это означает, что $F(\frac{5\pi}{2}) = -3$. Подставим координаты точки в найденное уравнение, чтобы определить значение $C$:
$-3 = \sin(10 \cdot \frac{5\pi}{2}) + \cos(\frac{1}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}) + C$.
Упростим аргументы тригонометрических функций и вычислим их значения:
$-3 = \sin(25\pi) + \cos(\frac{\pi}{2}) + C$.
Так как $\sin(25\pi) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$-3 = 0 + 0 + C$.
Отсюда следует, что $C = -3$.

Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной и получаем искомую функцию.
$F(x) = \sin(10x) + \cos(\frac{x}{5}) - 3$.

Ответ: $F(x) = \sin(10x) + \cos(\frac{x}{5}) - 3$.

5. На плоскости расположены 20 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?

Для того чтобы найти количество четырёхугольников, вершины которых находятся в заданных точках, нам необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 4 точки из 20 имеющихся.

В условии задачи сказано, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Это ключевой момент, который гарантирует, что любая комбинация из 4-х выбранных точек будет образовывать невырожденный четырёхугольник (то есть, все 4 точки не будут лежать на одной прямой, и никакие 3 из них не будут лежать на одной прямой).

Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из 20 элементов по 4. Порядок выбора точек не важен, так как набор вершин {A, B, C, D} определяет тот же самый четырёхугольник, что и, например, набор {B, A, D, C}.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество точек $n = 20$, а количество вершин в четырёхугольнике $k = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{20}^4 = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4! \cdot 16!}$

Распишем факториалы и произведем вычисления:

$C_{20}^4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 16!}$

Сократим $16!$ в числителе и знаменателе:

$C_{20}^4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{24}$

Теперь упростим выражение:

$C_{20}^4 = \frac{20}{4 \times 1} \times \frac{18}{3 \times 2} \times 19 \times 17 = 5 \times 3 \times 19 \times 17$

Перемножим полученные числа:

$15 \times 19 \times 17 = 285 \times 17 = 4845$

Следовательно, существует 4845 способов выбрать 4 вершины из 20 точек, а значит, можно составить 4845 различных четырёхугольников.

Ответ: 4845

6. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Значение $x$: 3, 4, 7

Вероятность: $\frac{1}{7}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{2}{7}$

Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины $x$ — это средневзвешенное значение всех её возможных значений, где весами выступают соответствующие вероятности. Оно вычисляется по формуле:

$M(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — это возможные значения случайной величины, а $p_i$ — их вероятности.

Из таблицы распределения нам известны следующие значения и их вероятности:

$x_1 = 3$, $p_1 = \frac{1}{7}$

$x_2 = 4$, $p_2 = \frac{4}{7}$

$x_3 = 7$, $p_3 = \frac{2}{7}$

Для начала убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1, что является обязательным условием для закона распределения:

$\sum p_i = \frac{1}{7} + \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = \frac{1+4+2}{7} = \frac{7}{7} = 1$.

Условие выполняется. Теперь подставим значения в формулу для вычисления математического ожидания:

$M(x) = 3 \cdot \frac{1}{7} + 4 \cdot \frac{4}{7} + 7 \cdot \frac{2}{7}$

Вычислим каждое слагаемое:

$M(x) = \frac{3}{7} + \frac{16}{7} + \frac{14}{7}$

Теперь сложим полученные дроби:

$M(x) = \frac{3 + 16 + 14}{7} = \frac{33}{7}$

Ответ: $\frac{33}{7}$

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = 5 - 0,5x$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо вычислить определенный интеграл от разности этих функций. Пределами интегрирования будут абсциссы точек пересечения графиков.

1. Нахождение пределов интегрирования

Найдем точки пересечения графиков функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = 5 - 0,5x$, приравняв их правые части:

$\frac{8}{x} = 5 - 0,5x$

Умножим обе части уравнения на $x$, при условии, что $x \neq 0$ (что верно, так как $x=0$ не входит в область определения функции $y = \frac{8}{x}$):

$8 = 5x - 0,5x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$0,5x^2 - 5x + 8 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 8.

$x_1 = 2, \quad x_2 = 8$

Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами 2 и 8. Эти значения и будут пределами интегрирования.

2. Определение верхней и нижней функций

Чтобы определить, какой из графиков находится выше на интервале $(2, 8)$, возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 4$, и вычислим значения обеих функций в этой точке:

Для прямой $y = 5 - 0,5x$: $y(4) = 5 - 0,5 \cdot 4 = 5 - 2 = 3$.

Для гиперболы $y = \frac{8}{x}$: $y(4) = \frac{8}{4} = 2$.

Так как $3 > 2$, на интервале $(2, 8)$ график функции $y = 5 - 0,5x$ лежит выше графика функции $y = \frac{8}{x}$.

3. Вычисление площади

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:

$S = \int_{2}^{8} \left( (5 - 0,5x) - \frac{8}{x} \right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int \left( 5 - 0,5x - \frac{8}{x} \right) dx = 5x - 0,5 \frac{x^2}{2} - 8 \ln|x| = 5x - \frac{x^2}{4} - 8 \ln|x|$

Теперь вычислим значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( 5x - \frac{x^2}{4} - 8 \ln x \right) \right|_{2}^{8} = \left( 5 \cdot 8 - \frac{8^2}{4} - 8 \ln 8 \right) - \left( 5 \cdot 2 - \frac{2^2}{4} - 8 \ln 2 \right)$

$S = \left( 40 - \frac{64}{4} - 8 \ln 8 \right) - \left( 10 - \frac{4}{4} - 8 \ln 2 \right)$

$S = (40 - 16 - 8 \ln 8) - (10 - 1 - 8 \ln 2)$

$S = (24 - 8 \ln 8) - (9 - 8 \ln 2)$

$S = 24 - 8 \ln 8 - 9 + 8 \ln 2 = 15 - 8(\ln 8 - \ln 2)$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, получаем:

$S = 15 - 8 \ln\left(\frac{8}{2}\right) = 15 - 8 \ln 4$

Также можно выразить ответ через натуральный логарифм 2, используя свойство $\ln(a^k) = k \ln a$:

$S = 15 - 8 \ln(2^2) = 15 - 8 \cdot 2 \ln 2 = 15 - 16 \ln 2$

Ответ: $15 - 8 \ln 4$ (или $15 - 16 \ln 2$).