Страница 109 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Элементы теории вероятностей

1. Бросают игральный кубик. Событие A состоит в том, что выпавшее число является нечётным, событие B — выпавшее число не больше трёх. Найдите вероятность события:

1) $\bar{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Значение $x$: 6, 8, 11, 13, 24, 30

Вероятность, %: 11, 8, 18, 21, 19, 23

Найдите:

1) $P (x = 8)$;

2) $P (x = 10)$;

3) $P (x \geq 13)$.

1.

При бросании игрального кубика существует 6 равновероятных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Множество всех элементарных исходов: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Общее число исходов $n=6$.

Событие A — «выпавшее число является нечётным». Этому событию благоприятствуют исходы: $A = \{1, 3, 5\}$. Число благоприятных исходов $m_A=3$.
Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Событие B — «выпавшее число не больше трёх», то есть $x \le 3$. Этому событию благоприятствуют исходы: $B = \{1, 2, 3\}$. Число благоприятных исходов $m_B=3$.
Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

1) $\overline{A}$

Событие $\overline{A}$ (противоположное событию A) состоит в том, что выпавшее число не является нечётным, то есть является чётным. Благоприятные исходы для события $\overline{A}$: $\{2, 4, 6\}$. Число благоприятных исходов $m_{\overline{A}}=3$.
Вероятность события $\overline{A}$ равна: $P(\overline{A}) = \frac{m_{\overline{A}}}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Альтернативно, вероятность противоположного события можно найти по формуле: $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $P(\overline{A}) = \frac{1}{2}$

2) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что оба события происходят одновременно. То есть, выпавшее число является нечётным и при этом не больше трёх. Этому условию удовлетворяют исходы, которые входят и в множество A, и в множество B: $A \cap B = \{1, 3\}$. Число благоприятных исходов $m_{A \cap B}=2$.
Вероятность события $A \cap B$ равна: $P(A \cap B) = \frac{m_{A \cap B}}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$

3) $A \cup B$

Событие $A \cup B$ (объединение событий A и B) означает, что происходит хотя бы одно из событий A или B. То есть, выпавшее число является нечётным или не больше трёх. Этому условию удовлетворяют исходы, которые входят хотя бы в одно из множеств A или B: $A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$. Число благоприятных исходов $m_{A \cup B}=4$.
Вероятность события $A \cup B$ равна: $P(A \cup B) = \frac{m_{A \cup B}}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Альтернативно, по формуле сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$

Дана таблица распределения вероятностей случайной величины x.

1) $P(x=8)$

Вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение 8, находим непосредственно из таблицы. В строке "Вероятность, %" под значением $x=8$ указано число 8.

Ответ: $P(x=8) = 8\% = 0.08$

2) $P(x=10)$

В таблице распределения для случайной величины $x$ отсутствует значение 10. Это означает, что событие $x=10$ является невозможным для данной случайной величины. Вероятность невозможного события равна нулю.

Ответ: $P(x=10) = 0$

3) $P(x \ge 13)$

Событие $x \ge 13$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, равное или большее 13. Из таблицы видно, что такими значениями являются 13, 24 и 30. Поскольку эти события несовместны (величина $x$ не может одновременно принимать разные значения), искомая вероятность равна сумме вероятностей этих событий.
$P(x \ge 13) = P(x=13) + P(x=24) + P(x=30)$.
Подставляем значения из таблицы:
$P(x \ge 13) = 21\% + 19\% + 23\% = 63\%$.

Ответ: $P(x \ge 13) = 63\% = 0.63$

3. В двух колодах лежат по одиннадцать карточек с номерами 1, 2, ..., 11. Наугад выбирают по две карточки из каждой колоды. Какова вероятность того, что на всех четырёх выбранных карточках будут записаны нечётные числа?

В каждой колоде 11 карточек с номерами от 1 до 11. Сначала определим, сколько среди них карточек с нечётными и чётными числами.

Нечётные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Всего 6 нечётных чисел.

Чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10. Всего 5 чётных чисел.

Задача состоит в том, чтобы найти вероятность того, что все четыре выбранные карточки (по две из каждой колоды) будут нечётными. Поскольку выбор карточек из одной колоды не зависит от выбора из другой, мы можем сначала найти вероятность выбора двух нечётных карточек из одной колоды, а затем перемножить эти вероятности, так как события независимы.

Шаг 1: Найдём вероятность вытащить две нечётные карточки из одной колоды.

Общее число способов выбрать 2 карточки из 11 равно числу сочетаний из 11 по 2:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$

Число способов выбрать 2 нечётные карточки из 6 имеющихся нечётных карточек равно числу сочетаний из 6 по 2:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Вероятность $P_1$ вытащить две нечётные карточки из первой колоды равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{C_6^2}{C_{11}^2} = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$

Шаг 2: Найдём итоговую вероятность.

Поскольку колоды одинаковые, вероятность вытащить две нечётные карточки из второй колоды ($P_2$) будет такой же:

$P_2 = \frac{3}{11}$

События выбора карточек из первой и второй колоды независимы. Поэтому, чтобы найти вероятность того, что ОБА события произойдут, нужно перемножить их вероятности:

$P_{общая} = P_1 \times P_2 = \frac{3}{11} \times \frac{3}{11} = \frac{9}{121}$

Ответ: $\frac{9}{121}$

4. Игральный кубик подбрасывают пять раз. Какова вероятность того, что четвёрка выпадет:

1) хотя бы один раз;

2) два раза?

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, так как подбрасывание кубика представляет собой серию независимых испытаний с двумя возможными исходами для нашего случая: выпадение четвёрки ("успех") или невыпадение четвёрки ("неудача").

Определим параметры:

• Количество испытаний (бросков): $n=5$.
• Вероятность "успеха" (выпадение четвёрки при одном броске): $p = \frac{1}{6}$.
• Вероятность "неудачи" (невыпадение четвёрки при одном броске): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

1) хотя бы один раз;

Событие "четвёрка выпадет хотя бы один раз" является противоположным событию "четвёрка не выпадет ни разу". Проще найти вероятность противоположного события и вычесть её из единицы.

Вероятность того, что четвёрка не выпадет ни разу за 5 бросков, вычисляется как вероятность пяти "неудач" подряд:
$P(\text{0 успехов}) = q^n = (\frac{5}{6})^5 = \frac{5^5}{6^5} = \frac{3125}{7776}$.

Следовательно, искомая вероятность того, что четвёрка выпадет хотя бы один раз, равна:
$P(\text{хотя бы 1 успех}) = 1 - P(\text{0 успехов}) = 1 - \frac{3125}{7776} = \frac{7776 - 3125}{7776} = \frac{4651}{7776}$.
Ответ: $ \frac{4651}{7776} $.

2) два раза?

Для нахождения вероятности того, что четвёрка выпадет ровно $k=2$ раза в серии из $n=5$ бросков, используем формулу Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Подставляем наши значения в формулу:
$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{5-2} = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_5^2$:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Теперь подставим все значения в формулу и произведем вычисления:
$P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{10 \cdot 125}{36 \cdot 216} = \frac{1250}{7776}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$.
Ответ: $ \frac{625}{3888} $.

5. Из натуральных чисел от 1 до 37 включительно наугад выбирают семь чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не менее двух окажутся кратными числу 4?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдем общее число исходов $N$.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 7 чисел из 37. Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_{37}^7 = \frac{37!}{7!(37-7)!} = \frac{37!}{7!30!}$

$N = \frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10295472$

2. Найдем число благоприятствующих исходов $m$.

Событие $A$ — «среди выбранных семи чисел не менее двух окажутся кратными числу 4». Это означает, что таких чисел может быть 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

Проще вычислить вероятность противоположного события $ \bar{A} $ — «среди выбранных семи чисел менее двух кратны 4». Это событие включает в себя два несовместных случая:

• Среди выбранных чисел нет ни одного, кратного 4.
• Среди выбранных чисел есть ровно одно, кратное 4.

Сначала определим, сколько чисел от 1 до 37 кратны 4. Это числа 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36. Всего таких чисел 9. Соответственно, чисел, не кратных 4, будет $37 - 9 = 28$.

Случай 1: Нет чисел, кратных 4.

Все 7 чисел выбираются из 28 чисел, которые не делятся на 4. Число таких способов:

$m_0 = C_{28}^7 = \frac{28!}{7!(28-7)!} = \frac{28!}{7!21!} = 1184040$

Случай 2: Ровно одно число кратно 4.

Нужно выбрать 1 число из 9, кратных 4, и 6 чисел из 28, не кратных 4. По правилу произведения, число таких способов:

$m_1 = C_9^1 \cdot C_{28}^6 = \frac{9!}{1!8!} \cdot \frac{28!}{6!22!} = 9 \cdot 376740 = 3390660$

Общее число исходов для противоположного события $ \bar{A} $ равно сумме исходов этих двух случаев:

$m(\bar{A}) = m_0 + m_1 = 1184040 + 3390660 = 4574700$

3. Найдем вероятность события $A$.

Вероятность противоположного события $ \bar{A} $ равна:

$P(\bar{A}) = \frac{m(\bar{A})}{N} = \frac{4574700}{10295472}$

Сократим дробь. Оба числа делятся на 12:

$P(\bar{A}) = \frac{381225}{857956}$

Оба числа делятся на 17:

$P(\bar{A}) = \frac{22425}{50468}$

Вероятность искомого события $A$ равна разности между единицей и вероятностью противоположного события:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{22425}{50468} = \frac{50468 - 22425}{50468} = \frac{28043}{50468}$

Ответ: $\frac{28043}{50468}$.