Страница 102 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}}$;

2) $\frac{A_{5}^{2}}{C_{6}^{3}}$.

1) Для решения данной задачи воспользуемся формулой для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.
Выражение имеет вид: $\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}} = \frac{3 \cdot 12! - 11!}{7 \cdot 10!}$.
Чтобы упростить выражение, представим факториалы в числителе через наименьший факториал в знаменателе, то есть через $10!$:
$12! = 12 \cdot 11 \cdot 10!$
$11! = 11 \cdot 10!$
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{3 \cdot (12 \cdot 11 \cdot 10!) - 11 \cdot 10!}{7 \cdot 10!}$
Вынесем общий множитель $10!$ в числителе за скобки:
$\frac{10! \cdot (3 \cdot 12 \cdot 11 - 11)}{7 \cdot 10!}$
Сократим $10!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{3 \cdot 12 \cdot 11 - 11}{7}$
Вынесем общий множитель $11$ в числителе за скобки:
$\frac{11 \cdot (3 \cdot 12 - 1)}{7} = \frac{11 \cdot (36 - 1)}{7} = \frac{11 \cdot 35}{7}$
Сократим дробь на $7$:
$11 \cdot 5 = 55$.
Ответ: 55

2) Для решения данной задачи воспользуемся формулами для числа размещений и числа сочетаний.
Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Вычислим значение числителя $A_5^2$:
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.
Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Вычислим значение знаменателя $C_6^3$:
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 5 \cdot 4 = 20$.
Теперь найдем значение исходного выражения:
$\frac{A_5^2}{C_6^3} = \frac{20}{20} = 1$.
Ответ: 1

2. Сколькими способами можно распределить 12 наборов карандашей между 12 учениками?

Эта задача заключается в нахождении количества способов распределить 12 различных предметов (наборов карандашей) между 12 различными получателями (учениками). Поскольку каждому ученику достается ровно один набор, задача сводится к нахождению числа перестановок из 12 элементов.
Представим процесс распределения пошагово:
- Первому ученику можно выдать любой из 12 наборов (12 вариантов выбора).
- Второму ученику можно выдать любой из оставшихся 11 наборов (11 вариантов).
- Третьему ученику — любой из оставшихся 10 наборов (10 вариантов).
- И так далее, пока последнему, двенадцатому ученику, не достанется последний оставшийся набор (1 вариант).

Общее число способов является произведением числа вариантов на каждом шаге. Это число перестановок из $n$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В данном случае $n = 12$, поэтому общее количество способов равно $12!$:
$12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 479\;001\;600$
Ответ: $479\;001\;600$

3. В легкоатлетическом кроссе участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье и четвёртое места?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью 개념 размещений, поскольку порядок, в котором спортсмены занимают места, имеет значение. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать 4-х спортсменов из 10 и распределить их по четырем призовым местам.

Для решения можно использовать правило умножения:

• Первое место может занять любой из 10 спортсменов.
• Когда первое место занято, на второе место претендуют оставшиеся 9 спортсменов.
• На третье место, соответственно, претендуют 8 оставшихся спортсменов.
• И на четвертое место – 7 спортсменов.

Общее количество способов распределения мест равно произведению числа вариантов для каждого места:

$N = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

Также можно использовать формулу для нахождения числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число спортсменов $n=10$, а количество призовых мест $k=4$.

$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 5040

4. Найдите все натуральные значения $n$, при которых выполняется неравенство $2^n \ge 3n - 1$.

Требуется найти все натуральные значения $n$, для которых выполняется неравенство $2^n \ge 3n - 1$.

Проверим справедливость неравенства для нескольких первых натуральных значений $n$.

При $n=1$: $2^1 \ge 3(1) - 1 \implies 2 \ge 2$. Неравенство верно.

При $n=2$: $2^2 \ge 3(2) - 1 \implies 4 \ge 5$. Неравенство неверно.

При $n=3$: $2^3 \ge 3(3) - 1 \implies 8 \ge 8$. Неравенство верно.

При $n=4$: $2^4 \ge 3(4) - 1 \implies 16 \ge 11$. Неравенство верно.

Мы видим, что неравенство не выполняется для $n=2$. Докажем методом математической индукции, что оно выполняется для всех натуральных $n \ge 3$.

База индукции

При $n=3$ неравенство верно, так как $8 \ge 8$.

Шаг индукции

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$, то есть $2^k \ge 3k - 1$.

Докажем, что из этого следует справедливость неравенства для $n = k+1$, а именно $2^{k+1} \ge 3(k+1) - 1$.

Используя индуктивное предположение, преобразуем левую часть:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \ge 2(3k - 1) = 6k - 2$.

Теперь сравним полученное выражение $6k - 2$ с правой частью доказываемого неравенства $3(k+1) - 1 = 3k + 2$. Нам нужно показать, что $6k - 2 \ge 3k + 2$ для $k \ge 3$.

$6k - 2 \ge 3k + 2 \implies 3k \ge 4 \implies k \ge \frac{4}{3}$.

Поскольку мы рассматриваем $k \ge 3$, это условие выполняется. Значит, мы доказали, что $2^{k+1} \ge 6k - 2 \ge 3k + 2$, откуда следует $2^{k+1} \ge 3(k+1) - 1$.

Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 3$.

Таким образом, исходное неравенство выполняется для $n=1$ и для всех натуральных $n \ge 3$. Единственное натуральное значение, для которого оно не выполняется, — это $n=2$.

Ответ: все натуральные числа, кроме $2$.

5. В разложении бинома $(x+\frac{1}{x})^{10}$ найдите номер члена, не содержащего $x$.

Чтобы найти член разложения бинома, который не содержит переменную x, необходимо использовать формулу общего члена разложения бинома Ньютона:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном биноме $(x + \frac{1}{x})^{10}$ мы имеем:

$a = x$, $b = \frac{1}{x} = x^{-1}$, $n = 10$.

Подставим эти значения в формулу общего члена разложения:

$T_{k+1} = C_{10}^k (x)^{10-k} (\frac{1}{x})^k = C_{10}^k x^{10-k} (x^{-1})^k$

Применяя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m a^n = a^{m+n}$, упростим выражение:

$T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} x^{-k} = C_{10}^k x^{10-k-k} = C_{10}^k x^{10-2k}$

Член разложения не содержит x, если показатель степени переменной x равен нулю. Таким образом, нам нужно найти значение k, для которого выполняется условие:

$10 - 2k = 0$

Решим полученное уравнение:

$2k = 10$

$k = \frac{10}{2} = 5$

Поскольку номер члена в разложении определяется как $k+1$, то искомый номер члена будет:

$5 + 1 = 6$

Следовательно, шестой член разложения бинома не содержит x.

Ответ: 6.

6. В 11 «А» классе учатся 25 человек, а в 11 «Б» — 28 человек. Сколько существует способов сформировать команду из 10 человек для участия в соревнованиях по лёгкой атлетике, если из каждого класса нужно выбрать по 5 человек?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику. Задача состоит из двух независимых частей: выбор 5 человек из 11 «А» класса и выбор 5 человек из 11 «Б» класса. Поскольку порядок выбора учеников в команду не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Итоговое количество способов будет равно произведению числа способов для каждого класса.

Формула для нахождения числа сочетаний из n элементов по k имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

1. Сначала найдем количество способов выбрать 5 учеников из 11 «А» класса, в котором учатся 25 человек (n=25, k=5).

$C_{25}^5 = \frac{25!}{5!(25-5)!} = \frac{25!}{5!20!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 53130$ способов.

2. Затем найдем количество способов выбрать 5 учеников из 11 «Б» класса, в котором учатся 28 человек (n=28, k=5).

$C_{28}^5 = \frac{28!}{5!(28-5)!} = \frac{28!}{5!23!} = \frac{28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 98280$ способов.

3. Чтобы найти общее количество способов сформировать команду из 10 человек (5 из класса «А» и 5 из класса «Б»), необходимо перемножить полученные результаты в соответствии с правилом произведения в комбинаторике.

$N = C_{25}^5 \times C_{28}^5 = 53130 \times 98280 = 5221652400$.

Ответ: 5 221 652 400.