Страница 101 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}$;

2) $\int_{1}^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) d x$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для $f(x)$.
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ является $F(x) = -\cot x$.
Теперь подставим пределы интегрирования: $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4}))$.
Вычислим значения котангенса в заданных точках: $\cot(\frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Подставим эти значения в выражение: $(-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) = -0 - (-1) = 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

2) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} (1 - \frac{1}{x^2}) dx$ также воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
Интегрируем по частям: $\int (1 - \frac{1}{x^2}) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x^2} dx = \int dx - \int x^{-2} dx$.
Первообразная для 1 равна $x$.
Первообразная для $x^{-2}$ равна $\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Таким образом, первообразная для $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ равна $F(x) = x - (-\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x}$.
Теперь подставим пределы интегрирования: $\int_{1}^{2} (1 - \frac{1}{x^2}) dx = [x + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (2 + \frac{1}{2}) - (1 + \frac{1}{1})$.
Вычислим значение выражения: $(2 + \frac{1}{2}) - (1 + 1) = \frac{5}{2} - 2 = \frac{5}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и прямыми $y = 0$ и $x = 2$.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, можно найти с помощью определенного интеграла. Если на отрезке $[a, b]$ функция $f(x)$ неотрицательна ($f(x) \ge 0$), то площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В нашем случае даны следующие границы:

1. График функции: $y = x^3$

2. Прямая: $y = 0$ (ось Ox)

3. Прямая: $x = 2$

Чтобы определить пределы интегрирования, нам нужно найти точки пересечения графика функции $y=x^3$ с осью $y=0$.

$x^3 = 0 \implies x = 0$

Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=0$, а справа — прямой $x=2$. Пределы интегрирования будут от $a=0$ до $b=2$.

На отрезке $[0, 2]$ функция $y = x^3$ принимает неотрицательные значения ($x^3 \ge 0$ при $x \ge 0$), поэтому ее график находится выше оси Ox. Следовательно, мы можем применить указанную выше формулу.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{2} x^3 \,dx$

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^3$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$S = F(b) - F(a) = F(2) - F(0)$

$S = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4}$

Подставляем значения и вычисляем:

$S = \frac{16}{4} - \frac{0}{4} = 4 - 0 = 4$

Площадь искомой фигуры составляет 4 квадратные единицы.

Ответ: 4

3. Найдите первообразную функции $f(x) = 4x^3 - 2x + 3$, график которой проходит через точку $A(1; -2)$.

Первообразной для функции $f(x)$ является функция $F(x)$, для которой выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Нахождение первообразной — это операция, обратная дифференцированию, то есть интегрирование.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x) = 4x^3 - 2x + 3$.

Для этого необходимо вычислить неопределенный интеграл от данной функции. Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (4x^3 - 2x + 3) dx = \int 4x^3 dx - \int 2x dx + \int 3 dx$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C$

$F(x) = x^4 - x^2 + 3x + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). Полученное выражение задаёт семейство всех первообразных для функции $f(x)$.

2. Найдём значение константы $C$, используя условие, что график первообразной проходит через точку A(1; -2).

Это условие означает, что при $x = 1$ значение функции $F(x)$ равно $-2$, то есть $F(1) = -2$.

Подставим значения координат точки A в найденное уравнение для $F(x)$:

$-2 = (1)^4 - (1)^2 + 3(1) + C$

$-2 = 1 - 1 + 3 + C$

$-2 = 3 + C$

Теперь найдём $C$:

$C = -2 - 3$

$C = -5$

3. Запишем искомую первообразную.

Подставим найденное значение $C = -5$ в общий вид первообразной:

$F(x) = x^4 - x^2 + 3x - 5$

Ответ: $F(x) = x^4 - x^2 + 3x - 5$

4. Вычислите интеграл:

1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 3 \cos 3x + \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \right) dx;$

2) $\int_{-1}^{4} \left( \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} - x \right) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 3\cos 3x + \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2} \right) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 3\cos 3x + \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}$.

Первообразная для $3\cos 3x$ равна $3 \cdot \frac{1}{3}\sin 3x = \sin 3x$.
Первообразная для $\frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}$ равна $\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{1/2}\cos \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (-2\cos \frac{x}{2}) = -\cos \frac{x}{2}$.

Таким образом, первообразная $F(x)$ для всей функции равна: $F(x) = \sin 3x - \cos \frac{x}{2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования: $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi/2}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$F(0) = \sin(3 \cdot 0) - \cos\left(\frac{0}{2}\right) = \sin(0) - \cos(0) = 0 - 1 = -1$.

Вычислим значение интеграла: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 3\cos 3x + \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2} \right) dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \left(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (-1) = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{4} \left( \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} - x \right) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} - x$. Перепишем первое слагаемое в виде $\frac{3}{2}(3x+4)^{-\frac{1}{2}}$.

Первообразная для $\frac{3}{2}(3x+4)^{-\frac{1}{2}}$ равна $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+4)^{\frac{1}{2}}}{1/2} = \frac{1}{2} \cdot 2(3x+4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3x+4}$.
Первообразная для $-x$ равна $-\frac{x^2}{2}$.

Таким образом, первообразная $F(x)$ для всей функции равна: $F(x) = \sqrt{3x+4} - \frac{x^2}{2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$F(4) = \sqrt{3 \cdot 4 + 4} - \frac{4^2}{2} = \sqrt{12+4} - \frac{16}{2} = \sqrt{16} - 8 = 4 - 8 = -4$.

$F(-1) = \sqrt{3 \cdot (-1) + 4} - \frac{(-1)^2}{2} = \sqrt{-3+4} - \frac{1}{2} = \sqrt{1} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Вычислим значение интеграла: $\int_{-1}^{4} \left( \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} - x \right) dx = F(4) - F(-1) = -4 - \frac{1}{2} = -4.5$.

Ответ: $-4.5$

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 4 - x^2$ и $y = 2 - x$.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 4 - x^2$ и $y = 2 - x$, необходимо сначала найти точки пересечения этих графиков, а затем вычислить определенный интеграл от разности функций.

1. Нахождение пределов интегрирования

Пределы интегрирования — это абсциссы ($x$) точек пересечения графиков. Чтобы их найти, приравняем правые части уравнений:

$4 - x^2 = 2 - x$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x + 2 - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и -1.

$x_1 = -1$, $x_2 = 2$

Таким образом, фигура расположена в пределах от $x = -1$ до $x = 2$.

2. Определение верхней и нижней функции

На интервале $[-1, 2]$ необходимо определить, какая из функций принимает большие значения (т.е. чей график лежит выше). Для этого возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$, и подставим её в оба уравнения:

Для первой функции: $y_1 = 4 - x^2 \Rightarrow y_1(0) = 4 - 0^2 = 4$

Для второй функции: $y_2 = 2 - x \Rightarrow y_2(0) = 2 - 0 = 2$

Так как $4 > 2$, на интервале $[-1, 2]$ график функции $y = 4 - x^2$ находится выше графика функции $y = 2 - x$.

3. Вычисление площади

Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле как интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:

$S = \int_{a}^{b} (f_{верхняя}(x) - f_{нижняя}(x)) dx$

$S = \int_{-1}^{2} ((4 - x^2) - (2 - x)) dx$

Сначала упростим подынтегральное выражение:

$(4 - x^2) - (2 - x) = 4 - x^2 - 2 + x = -x^2 + x + 2$

Теперь вычислим интеграл:

$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Найдем первообразную:

$\int (-x^2 + x + 2) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{-1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{2+3-12}{6} \right)$

$S = \left( \frac{18-8}{3} \right) - \left( \frac{-7}{6} \right)$

$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6}$

Сократим дробь:

$S = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: $4,5$

6. На рисунке 13 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 2]$. Вычислите интеграл $\int_{-1}^{2} f(x)dx$.

Рис. 13

Определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Поскольку на заданном промежутке интегрирования $[-1, 2]$ график функции $f(x)$ находится выше оси $Ox$, значение интеграла будет равно площади фигуры под графиком.

Для вычисления площади разобьем фигуру, ограниченную графиком, осью $Ox$ и прямыми $x=-1$ и $x=2$, на две более простые геометрические фигуры: трапецию на отрезке $[-1, 0]$ и треугольник на отрезке $[0, 2]$.

1. Площадь трапеции на отрезке $[-1, 0]$.
Эта фигура представляет собой прямоугольную трапецию. Её основаниями служат значения функции в точках $x=-1$ и $x=0$. Из графика видно, что вершина находится в точке $(0, 4)$, значит, $f(0) = 4$. Чтобы найти $f(-1)$, определим уравнение прямой на отрезке $[-4, 0]$. Прямая проходит через точки $(-4, 0)$ и $(0, 4)$. Её угловой коэффициент $k = \frac{4-0}{0-(-4)} = 1$. Уравнение прямой: $y = x+4$. Тогда $f(-1) = -1 + 4 = 3$. Основания трапеции равны 3 и 4, а высота равна $0 - (-1) = 1$. Площадь трапеции $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = \frac{a+b}{2}h = \frac{3+4}{2} \cdot 1 = \frac{7}{2} = 3.5$

2. Площадь треугольника на отрезке $[0, 2]$.
Эта фигура представляет собой прямоугольный треугольник. Его основание лежит на оси $Ox$ и равно $2-0=2$. Высота треугольника равна значению функции в точке $x=0$, то есть $f(0)=4$. Площадь треугольника $S_2$ вычисляется по формуле: $S_2 = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$

Искомое значение интеграла равно сумме площадей этих двух фигур: $\int_{-1}^{2} f(x)dx = S_1 + S_2 = 3.5 + 4 = 7.5$

Ответ: 7.5