Страница 100 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите область определения функции $y = \lg(4x - 1)$.

Область определения логарифмической функции — это множество значений переменной, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, является строго положительным.

Для заданной функции $y = \lg(4x - 1)$ необходимо, чтобы аргумент логарифма был больше нуля. Составим и решим соответствующее неравенство:

$4x - 1 > 0$

Перенесём $-1$ в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$4x > 1$

Разделим обе части неравенства на 4:

$x > \frac{1}{4}$

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, которые больше $\frac{1}{4}$. Это можно представить в виде интервала.

Ответ: $(\frac{1}{4}; +\infty)$.

2. Решите уравнение:

1) $\log_{\frac{1}{3}}(3x + 4) = -2;$

2) $\log_7(2x + 9) = \log_7(x^2 + 5x - 1).$

1)

Дано логарифмическое уравнение $ \log_{\frac{1}{3}}(3x + 4) = -2 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля:

$ 3x + 4 > 0 $

$ 3x > -4 $

$ x > -\frac{4}{3} $

Теперь решим уравнение, используя основное логарифмическое тождество, согласно которому уравнение $ \log_b a = c $ равносильно уравнению $ a = b^c $.

Применительно к нашему случаю:

$ 3x + 4 = (\frac{1}{3})^{-2} $

Вычислим значение в правой части:

$ (\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9 $

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$ 3x + 4 = 9 $

$ 3x = 9 - 4 $

$ 3x = 5 $

$ x = \frac{5}{3} $

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($ x > -\frac{4}{3} $). Так как $ \frac{5}{3} > -\frac{4}{3} $, корень удовлетворяет условию.

Ответ: $ \frac{5}{3} $.

2)

Дано уравнение $ \log_{7}(2x + 9) = \log_{7}(x^2 + 5x - 1) $.

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять выражения, стоящие под знаком логарифма. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), которая требует, чтобы оба подлогарифмических выражения были положительными. Это приводит к системе:

$ \begin{cases} 2x + 9 = x^2 + 5x - 1 \\ 2x + 9 > 0 \\ x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases} $

Если мы решим уравнение $ 2x + 9 = x^2 + 5x - 1 $ и проверим корни на соответствие условию $ 2x + 9 > 0 $, то второе неравенство ($ x^2 + 5x - 1 > 0 $) будет выполнено автоматически. Поэтому систему можно упростить:

$ \begin{cases} 2x + 9 = x^2 + 5x - 1 \\ 2x + 9 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ x^2 + 5x - 2x - 1 - 9 = 0 $

$ x^2 + 3x - 10 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя теорему Виета:

$ x_1 + x_2 = -3 $

$ x_1 \cdot x_2 = -10 $

Корнями являются $ x_1 = -5 $ и $ x_2 = 2 $.

Теперь проверим найденные корни, подставив их в неравенство $ 2x + 9 > 0 $:

Для $ x_1 = -5 $:

$ 2(-5) + 9 = -10 + 9 = -1 $.

Так как $ -1 < 0 $, этот корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Для $ x_2 = 2 $:

$ 2(2) + 9 = 4 + 9 = 13 $.

Так как $ 13 > 0 $, этот корень является решением уравнения.

Ответ: $ 2 $.

3. Решите неравенство $\log_{0,9}(x-4) \ge \log_{0,9}(8-x)$.

Для решения логарифмического неравенства $ \log_{0,9}(x-4) \ge \log_{0,9}(8-x) $ необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить само неравенство, учитывая свойства логарифмической функции.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 4 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

$\begin{cases} x > 4 \\ x < 8 \end{cases}$

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \in (4; 8)$.

2. Решим неравенство.

Основание логарифма в данном неравенстве равно $0,9$. Так как основание меньше единицы ($0 < 0,9 < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{0,9}(t)$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x - 4 \le 8 - x$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$x + x \le 8 + 4$

$2x \le 12$

$x \le 6$

3. Найдём пересечение решения с ОДЗ.

Решение исходного неравенства должно удовлетворять как полученному условию $x \le 6$, так и области допустимых значений $x \in (4; 8)$. Найдём пересечение этих множеств, решив систему:

$\begin{cases} x \le 6 \\ 4 < x < 8 \end{cases}$

Общим решением системы является промежуток $4 < x \le 6$.

Ответ: $(4; 6]$.

4. Вычислите значение выражения $\frac{\log_9 27 + \log_9 3}{2\log_2 6 - \log_2 9}$

Для вычисления значения выражения $ \frac{\log_{9}27 + \log_{9}3}{2\log_{2}6 - \log_{2}9} $ необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов.

1. Упрощение числителя

В числителе находится сумма логарифмов с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $ \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b \cdot c) $.

$ \log_{9}27 + \log_{9}3 = \log_{9}(27 \cdot 3) = \log_{9}81 $

Теперь вычислим полученное значение. Логарифм $ \log_{9}81 $ – это степень, в которую нужно возвести основание 9, чтобы получить число 81. Поскольку $ 9^2 = 81 $, то:

$ \log_{9}81 = 2 $

Таким образом, числитель равен 2.

2. Упрощение знаменателя

В знаменателе находится выражение $ 2\log_{2}6 - \log_{2}9 $. Сначала применим свойство логарифма с коэффициентом: $ n \cdot \log_{a}b = \log_{a}(b^n) $.

$ 2\log_{2}6 = \log_{2}(6^2) = \log_{2}36 $

Теперь знаменатель имеет вид $ \log_{2}36 - \log_{2}9 $. Воспользуемся свойством разности логарифмов: $ \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}(\frac{b}{c}) $.

$ \log_{2}36 - \log_{2}9 = \log_{2}(\frac{36}{9}) = \log_{2}4 $

Вычислим полученное значение. Логарифм $ \log_{2}4 $ – это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 4. Поскольку $ 2^2 = 4 $, то:

$ \log_{2}4 = 2 $

Таким образом, знаменатель равен 2.

3. Вычисление итогового значения

Теперь, когда известны значения числителя и знаменателя, мы можем найти значение всей дроби:

$ \frac{2}{2} = 1 $

Ответ: 1.

5. Решите уравнение:

1) $\log_2 x + \log_2(x-3) = 2;$

2) $1 + 2\log_x 5 = \log_5 x.$

1) $\log_{2}x + \log_{2}(x-3) = 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3$.

Теперь воспользуемся свойством логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$.

$\log_{2}(x(x-3)) = 2$

По определению логарифма, если $\log_{a}b = c$, то $b = a^c$. Применим это к нашему уравнению:

$x(x-3) = 2^2$

$x^2 - 3x = 4$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -4$

Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x > 3$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 3$, поэтому это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $4$.

2) $1 + 2\log_{x}5 = \log_{5}x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, а основание — положительным и не равным единице:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$.

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}$.

$\log_{x}5 = \frac{1}{\log_{5}x}$

Подставим это в исходное уравнение:

$1 + 2 \cdot \frac{1}{\log_{5}x} = \log_{5}x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{5}x$. Заметим, что из ОДЗ ($x \neq 1$) следует, что $t \neq \log_{5}1$, то есть $t \neq 0$.

Уравнение принимает вид:

$1 + \frac{2}{t} = t$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t + 2 = t^2$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $\log_{5}x = 2$. Отсюда $x = 5^2 = 25$.

2. Если $t = -1$, то $\log_{5}x = -1$. Отсюда $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Корень $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 > 0$ и $25 \neq 1$).

Корень $x = \frac{1}{5}$ удовлетворяет ОДЗ ($\frac{1}{5} > 0$ и $\frac{1}{5} \neq 1$).

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $25$; $\frac{1}{5}$.

6. Найдите множество решений неравенства

$\log^2_{0.5} x - \log_{0.5} x - 2 \ge 0.$

Дано неравенство: $log_{0,5}^2 x - log_{0,5} x - 2 \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$.

Замена переменной.
Введем новую переменную. Пусть $t = log_{0,5} x$. Тогда исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$t^2 - t - 2 \ge 0$.

Решение квадратного неравенства.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.
Используя теорему Виета или формулу для корней, находим:
$t_1 = -1$
$t_2 = 2$
Графиком функции $y = t^2 - t - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $t^2 - t - 2 \ge 0$ выполняется, когда переменная $t$ находится за пределами корней, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $t \le -1$ или $t \ge 2$.

Обратная замена.
Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $log_{0,5} x$ вместо $t$. Получим совокупность двух логарифмических неравенств:
$log_{0,5} x \le -1$ или $log_{0,5} x \ge 2$.

Решение логарифмических неравенств.
Решим каждое неравенство из совокупности.
1) $log_{0,5} x \le -1$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5: $-1 = log_{0,5}(0,5^{-1}) = log_{0,5}(2)$.
Неравенство примет вид: $log_{0,5} x \le log_{0,5}(2)$.
Так как основание логарифма $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x \ge 2$.

2) $log_{0,5} x \ge 2$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5: $2 = log_{0,5}(0,5^2) = log_{0,5}(0,25)$.
Неравенство примет вид: $log_{0,5} x \ge log_{0,5}(0,25)$.
Так как основание логарифма $0,5 < 1$, знак неравенства также меняется на противоположный:
$x \le 0,25$.

Учет ОДЗ и формирование окончательного ответа.
Мы получили совокупность решений: $x \ge 2$ или $x \le 0,25$.
Теперь необходимо совместить эти решения с областью допустимых значений ($x > 0$).
- Решение $x \ge 2$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
- Для решения $x \le 0,25$ с учетом ОДЗ получаем интервал $0 < x \le 0,25$.
Объединяя полученные интервалы, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $x \in (0; 0,25] \cup [2; +\infty)$.

7. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = e^{-3x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ в общем виде записывается как:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае дана функция $f(x) = e^{-3x}$ и точка $x_0 = 0$.

Для того чтобы составить уравнение касательной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = e^{-3 \cdot 0} = e^0 = 1$

2. Найти производную функции $f(x)$:

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(e^u)' = e^u \cdot u'$. В данном случае $u = -3x$, поэтому $u' = -3$.

$f'(x) = (e^{-3x})' = e^{-3x} \cdot (-3) = -3e^{-3x}$

3. Найти значение производной в точке $x_0 = 0$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.

$f'(x_0) = f'(0) = -3e^{-3 \cdot 0} = -3e^0 = -3 \cdot 1 = -3$

4. Подставить найденные значения $f(x_0) = 1$ и $f'(x_0) = -3$, а также $x_0 = 0$ в общее уравнение касательной:

$y = 1 + (-3)(x - 0)$

$y = 1 - 3x$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $f(x) = e^{-3x}$ в точке $x_0 = 0$ имеет вид $y = -3x + 1$.

Ответ: $y = -3x + 1$

8. Постройте график функции $y = \sqrt{\lg \sin x}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{\lg \sin x}$ необходимо сначала найти ее область определения (ОДЗ).

1. Нахождение области определения функции.

Функция определена, если выполняются два условия одновременно:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\lg \sin x \ge 0$.
2. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $\sin x > 0$.

Рассмотрим первое неравенство: $\lg \sin x \ge 0$.

По определению десятичного логарифма, это неравенство эквивалентно следующему (так как основание логарифма $10 > 1$):

$\sin x \ge 10^0$

$\sin x \ge 1$

Мы знаем, что область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то есть $\sin x \le 1$ для любого значения $x$.

Таким образом, мы имеем систему из двух условий:

$$ \begin{cases} \sin x \ge 1 \\ \sin x \le 1 \end{cases} $$

Единственным решением этой системы является уравнение $\sin x = 1$.

При $\sin x = 1$ второе условие ОДЗ ($\sin x > 0$) также выполняется, так как $1 > 0$.

Следовательно, область определения функции состоит из всех значений $x$, для которых $\sin x = 1$.

Решением уравнения $\sin x = 1$ является серия точек:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).

2. Нахождение значений функции.

Теперь найдем значение функции $y$ в точках, принадлежащих области определения. Для этого подставим значение $\sin x = 1$ в исходную формулу:

$y = \sqrt{\lg(1)}$

Так как $\lg(1) = 0$, получаем:

$y = \sqrt{0} = 0$

3. Построение графика.

Мы выяснили, что функция определена только в дискретных точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), и во всех этих точках значение функции равно $y=0$.

Таким образом, график функции не является сплошной линией, а представляет собой набор изолированных точек, лежащих на оси абсцисс (оси Ox).

Найдем координаты нескольких таких точек, задавая различные целые значения $k$:

• при $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Координаты точки: $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$.
• при $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Координаты точки: $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
• при $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Координаты точки: $(\frac{5\pi}{2}, 0)$.
• при $k = 2$, $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$. Координаты точки: $(\frac{9\pi}{2}, 0)$.

И так далее.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\lg \sin x}$ представляет собой бесконечный набор изолированных точек, лежащих на оси Ox, с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 0)$, где $k$ – любое целое число.