Номер 6, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите множество решений неравенства

$\log^2_{0.5} x - \log_{0.5} x - 2 \ge 0.$

Дано неравенство: $log_{0,5}^2 x - log_{0,5} x - 2 \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$.

Замена переменной.
Введем новую переменную. Пусть $t = log_{0,5} x$. Тогда исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$t^2 - t - 2 \ge 0$.

Решение квадратного неравенства.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.
Используя теорему Виета или формулу для корней, находим:
$t_1 = -1$
$t_2 = 2$
Графиком функции $y = t^2 - t - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $t^2 - t - 2 \ge 0$ выполняется, когда переменная $t$ находится за пределами корней, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $t \le -1$ или $t \ge 2$.

Обратная замена.
Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $log_{0,5} x$ вместо $t$. Получим совокупность двух логарифмических неравенств:
$log_{0,5} x \le -1$ или $log_{0,5} x \ge 2$.

Решение логарифмических неравенств.
Решим каждое неравенство из совокупности.
1) $log_{0,5} x \le -1$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5: $-1 = log_{0,5}(0,5^{-1}) = log_{0,5}(2)$.
Неравенство примет вид: $log_{0,5} x \le log_{0,5}(2)$.
Так как основание логарифма $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x \ge 2$.

2) $log_{0,5} x \ge 2$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5: $2 = log_{0,5}(0,5^2) = log_{0,5}(0,25)$.
Неравенство примет вид: $log_{0,5} x \ge log_{0,5}(0,25)$.
Так как основание логарифма $0,5 < 1$, знак неравенства также меняется на противоположный:
$x \le 0,25$.

Учет ОДЗ и формирование окончательного ответа.
Мы получили совокупность решений: $x \ge 2$ или $x \le 0,25$.
Теперь необходимо совместить эти решения с областью допустимых значений ($x > 0$).
- Решение $x \ge 2$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
- Для решения $x \le 0,25$ с учетом ОДЗ получаем интервал $0 < x \le 0,25$.
Объединяя полученные интервалы, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $x \in (0; 0,25] \cup [2; +\infty)$.