Номер 8, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Постройте график функции $y = \sqrt{\lg \sin x}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{\lg \sin x}$ необходимо сначала найти ее область определения (ОДЗ).

1. Нахождение области определения функции.

Функция определена, если выполняются два условия одновременно:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\lg \sin x \ge 0$.
2. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $\sin x > 0$.

Рассмотрим первое неравенство: $\lg \sin x \ge 0$.

По определению десятичного логарифма, это неравенство эквивалентно следующему (так как основание логарифма $10 > 1$):

$\sin x \ge 10^0$

$\sin x \ge 1$

Мы знаем, что область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то есть $\sin x \le 1$ для любого значения $x$.

Таким образом, мы имеем систему из двух условий:

$$ \begin{cases} \sin x \ge 1 \\ \sin x \le 1 \end{cases} $$

Единственным решением этой системы является уравнение $\sin x = 1$.

При $\sin x = 1$ второе условие ОДЗ ($\sin x > 0$) также выполняется, так как $1 > 0$.

Следовательно, область определения функции состоит из всех значений $x$, для которых $\sin x = 1$.

Решением уравнения $\sin x = 1$ является серия точек:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).

2. Нахождение значений функции.

Теперь найдем значение функции $y$ в точках, принадлежащих области определения. Для этого подставим значение $\sin x = 1$ в исходную формулу:

$y = \sqrt{\lg(1)}$

Так как $\lg(1) = 0$, получаем:

$y = \sqrt{0} = 0$

3. Построение графика.

Мы выяснили, что функция определена только в дискретных точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), и во всех этих точках значение функции равно $y=0$.

Таким образом, график функции не является сплошной линией, а представляет собой набор изолированных точек, лежащих на оси абсцисс (оси Ox).

Найдем координаты нескольких таких точек, задавая различные целые значения $k$:

• при $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Координаты точки: $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$.
• при $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Координаты точки: $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
• при $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Координаты точки: $(\frac{5\pi}{2}, 0)$.
• при $k = 2$, $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$. Координаты точки: $(\frac{9\pi}{2}, 0)$.

И так далее.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\lg \sin x}$ представляет собой бесконечный набор изолированных точек, лежащих на оси Ox, с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 0)$, где $k$ – любое целое число.