Номер 1, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}}$;

2) $\frac{A_{5}^{2}}{C_{6}^{3}}$.

1) Для решения данной задачи воспользуемся формулой для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.
Выражение имеет вид: $\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}} = \frac{3 \cdot 12! - 11!}{7 \cdot 10!}$.
Чтобы упростить выражение, представим факториалы в числителе через наименьший факториал в знаменателе, то есть через $10!$:
$12! = 12 \cdot 11 \cdot 10!$
$11! = 11 \cdot 10!$
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{3 \cdot (12 \cdot 11 \cdot 10!) - 11 \cdot 10!}{7 \cdot 10!}$
Вынесем общий множитель $10!$ в числителе за скобки:
$\frac{10! \cdot (3 \cdot 12 \cdot 11 - 11)}{7 \cdot 10!}$
Сократим $10!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{3 \cdot 12 \cdot 11 - 11}{7}$
Вынесем общий множитель $11$ в числителе за скобки:
$\frac{11 \cdot (3 \cdot 12 - 1)}{7} = \frac{11 \cdot (36 - 1)}{7} = \frac{11 \cdot 35}{7}$
Сократим дробь на $7$:
$11 \cdot 5 = 55$.
Ответ: 55

2) Для решения данной задачи воспользуемся формулами для числа размещений и числа сочетаний.
Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Вычислим значение числителя $A_5^2$:
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.
Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Вычислим значение знаменателя $C_6^3$:
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 5 \cdot 4 = 20$.
Теперь найдем значение исходного выражения:
$\frac{A_5^2}{C_6^3} = \frac{20}{20} = 1$.
Ответ: 1