gdz.top
Номер 2, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 3. Тема. Интеграл и его применение - номер 2, страница 101.
№1
№2 (с. 101)
Условие. №2 (с. 101)
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и прямыми $y = 0$ и $x = 2$.
Решение. №2 (с. 101)
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, можно найти с помощью определенного интеграла. Если на отрезке $[a, b]$ функция $f(x)$ неотрицательна ($f(x) \ge 0$), то площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$
В нашем случае даны следующие границы:
1. График функции: $y = x^3$
2. Прямая: $y = 0$ (ось Ox)
3. Прямая: $x = 2$
Чтобы определить пределы интегрирования, нам нужно найти точки пересечения графика функции $y=x^3$ с осью $y=0$.
$x^3 = 0 \implies x = 0$
Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=0$, а справа — прямой $x=2$. Пределы интегрирования будут от $a=0$ до $b=2$.
На отрезке $[0, 2]$ функция $y = x^3$ принимает неотрицательные значения ($x^3 \ge 0$ при $x \ge 0$), поэтому ее график находится выше оси Ox. Следовательно, мы можем применить указанную выше формулу.
Вычислим определенный интеграл:
$S = \int_{0}^{2} x^3 \,dx$
Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^3$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:
$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
$S = F(b) - F(a) = F(2) - F(0)$
$S = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4}$
Подставляем значения и вычисляем:
$S = \frac{16}{4} - \frac{0}{4} = 4 - 0 = 4$
Площадь искомой фигуры составляет 4 квадратные единицы.
Ответ: 4
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 101 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 101), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.