Номер 1, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}$;

2) $\int_{1}^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) d x$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для $f(x)$.
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ является $F(x) = -\cot x$.
Теперь подставим пределы интегрирования: $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4}))$.
Вычислим значения котангенса в заданных точках: $\cot(\frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Подставим эти значения в выражение: $(-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) = -0 - (-1) = 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

2) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} (1 - \frac{1}{x^2}) dx$ также воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
Интегрируем по частям: $\int (1 - \frac{1}{x^2}) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x^2} dx = \int dx - \int x^{-2} dx$.
Первообразная для 1 равна $x$.
Первообразная для $x^{-2}$ равна $\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Таким образом, первообразная для $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ равна $F(x) = x - (-\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x}$.
Теперь подставим пределы интегрирования: $\int_{1}^{2} (1 - \frac{1}{x^2}) dx = [x + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (2 + \frac{1}{2}) - (1 + \frac{1}{1})$.
Вычислим значение выражения: $(2 + \frac{1}{2}) - (1 + 1) = \frac{5}{2} - 2 = \frac{5}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$