Номер 4, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите все натуральные значения $n$, при которых выполняется неравенство $2^n \ge 3n - 1$.

Требуется найти все натуральные значения $n$, для которых выполняется неравенство $2^n \ge 3n - 1$.

Проверим справедливость неравенства для нескольких первых натуральных значений $n$.

При $n=1$: $2^1 \ge 3(1) - 1 \implies 2 \ge 2$. Неравенство верно.

При $n=2$: $2^2 \ge 3(2) - 1 \implies 4 \ge 5$. Неравенство неверно.

При $n=3$: $2^3 \ge 3(3) - 1 \implies 8 \ge 8$. Неравенство верно.

При $n=4$: $2^4 \ge 3(4) - 1 \implies 16 \ge 11$. Неравенство верно.

Мы видим, что неравенство не выполняется для $n=2$. Докажем методом математической индукции, что оно выполняется для всех натуральных $n \ge 3$.

База индукции

При $n=3$ неравенство верно, так как $8 \ge 8$.

Шаг индукции

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$, то есть $2^k \ge 3k - 1$.

Докажем, что из этого следует справедливость неравенства для $n = k+1$, а именно $2^{k+1} \ge 3(k+1) - 1$.

Используя индуктивное предположение, преобразуем левую часть:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \ge 2(3k - 1) = 6k - 2$.

Теперь сравним полученное выражение $6k - 2$ с правой частью доказываемого неравенства $3(k+1) - 1 = 3k + 2$. Нам нужно показать, что $6k - 2 \ge 3k + 2$ для $k \ge 3$.

$6k - 2 \ge 3k + 2 \implies 3k \ge 4 \implies k \ge \frac{4}{3}$.

Поскольку мы рассматриваем $k \ge 3$, это условие выполняется. Значит, мы доказали, что $2^{k+1} \ge 6k - 2 \ge 3k + 2$, откуда следует $2^{k+1} \ge 3(k+1) - 1$.

Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 3$.

Таким образом, исходное неравенство выполняется для $n=1$ и для всех натуральных $n \ge 3$. Единственное натуральное значение, для которого оно не выполняется, — это $n=2$.

Ответ: все натуральные числа, кроме $2$.