Номер 5, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Из натуральных чисел от 1 до 32 включительно наугад выбирают шесть чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не более двух окажутся кратными числу 3?

Для решения задачи по теории вероятностей используем классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов ($n$).

Всего дано 32 натуральных числа. Из них нужно выбрать 6. Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 6 чисел из 32 равно:

$n = C_{32}^6 = \frac{32!}{6!(32-6)!} = \frac{32!}{6!26!} = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 906192$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов ($m$).

Событие, которое нас интересует: "среди выбранных шести чисел не более двух окажутся кратными числу 3". Это означает, что таких чисел может быть 0, 1 или 2.

Сначала разделим все 32 числа на две группы:

• Числа, кратные 3: 3, 6, 9, ..., 30. Их количество можно найти как $\lfloor \frac{32}{3} \rfloor = 10$ чисел.
• Числа, не кратные 3: $32 - 10 = 22$ числа.

Теперь рассмотрим три случая, которые удовлетворяют условию:

Случай 1: Среди 6 выбранных чисел нет ни одного, кратного 3.

Это значит, что все 6 чисел выбраны из 22 чисел, не кратных 3. Число таких способов:

$m_1 = C_{10}^0 \cdot C_{22}^6 = 1 \cdot \frac{22!}{6!16!} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 74613$.

Случай 2: Среди 6 выбранных чисел ровно одно кратно 3.

Это значит, что 1 число выбрано из 10 кратных 3, а остальные 5 – из 22 не кратных 3. Число таких способов:

$m_2 = C_{10}^1 \cdot C_{22}^5 = 10 \cdot \frac{22!}{5!17!} = 10 \cdot \frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 26334 = 263340$.

Случай 3: Среди 6 выбранных чисел ровно два кратны 3.

Это значит, что 2 числа выбраны из 10 кратных 3, а остальные 4 – из 22 не кратных 3. Число таких способов:

$m_3 = C_{10}^2 \cdot C_{22}^4 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 45 \cdot 7315 = 329175$.

Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно сумме исходов в этих трех случаях:

$m = m_1 + m_2 + m_3 = 74613 + 263340 + 329175 = 667128$.

3. Найдем вероятность.

$P = \frac{m}{n} = \frac{667128}{906192}$.

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 168.

$P = \frac{667128 \div 168}{906192 \div 168} = \frac{3971}{5394}$.

Ответ: $\frac{3971}{5394}$