Номер 7, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 4 - 0,5x.$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графиков.

Для этого приравняем правые части уравнений функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 4 - 0,5x$:

$\frac{6}{x} = 4 - 0,5x$

Предполагая, что $x \neq 0$ (что верно для области определения функции $y = \frac{6}{x}$), умножим обе части уравнения на $x$:

$6 = 4x - 0,5x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,5x^2 - 4x + 6 = 0$

Умножим уравнение на 2 для избавления от дробного коэффициента:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Эти значения являются абсциссами точек пересечения графиков и будут пределами интегрирования.

2. Определить, какая функция является верхней на интервале интегрирования.

Возьмем любую точку из интервала $(2, 6)$, например, $x=4$, и найдем значения обеих функций в этой точке:

Для $y = \frac{6}{x}$: $y(4) = \frac{6}{4} = 1,5$

Для $y = 4 - 0,5x$: $y(4) = 4 - 0,5 \cdot 4 = 4 - 2 = 2$

Так как $2 > 1,5$, на всем интервале $[2, 6]$ график прямой $y = 4 - 0,5x$ находится выше графика гиперболы $y = \frac{6}{x}$.

3. Вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций в пределах от $x_1=2$ до $x_2=6$:

$S = \int_{2}^{6} \left( (4 - 0,5x) - \frac{6}{x} \right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int \left( 4 - 0,5x - \frac{6}{x} \right) dx = 4x - 0,5 \frac{x^2}{2} - 6 \ln|x| = 4x - \frac{x^2}{4} - 6 \ln|x|$

Теперь вычислим значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( 4x - \frac{x^2}{4} - 6 \ln|x| \right) \right|_{2}^{6}$

$S = \left( 4 \cdot 6 - \frac{6^2}{4} - 6 \ln|6| \right) - \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^2}{4} - 6 \ln|2| \right)$

$S = \left( 24 - \frac{36}{4} - 6 \ln(6) \right) - \left( 8 - \frac{4}{4} - 6 \ln(2) \right)$

$S = (24 - 9 - 6 \ln(6)) - (8 - 1 - 6 \ln(2))$

$S = (15 - 6 \ln(6)) - (7 - 6 \ln(2))$

$S = 15 - 6 \ln(6) - 7 + 6 \ln(2)$

$S = 8 - 6 \ln(6) + 6 \ln(2)$

Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, преобразуем выражение:

$S = 8 - 6(\ln(6) - \ln(2)) = 8 - 6 \ln\left(\frac{6}{2}\right) = 8 - 6 \ln(3)$

Ответ: $8 - 6 \ln(3)$