Номер 4, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Решите уравнение $(5^{x+4})^{x-3} = 0.2^x \cdot 25^{x-4}$.

Дано показательное уравнение:

$(5^{x+4})^{x-3} = 0,2^x \cdot 25^{x-4}$

Для решения этого уравнения необходимо привести все степени к одному основанию. В данном случае наиболее удобным основанием является 5. Вспомним, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $25 = 5^2$.

1. Преобразуем левую часть уравнения.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^{x+4})^{x-3} = 5^{(x+4)(x-3)}$

Раскроем скобки в показателе степени:

$(x+4)(x-3) = x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$

Таким образом, левая часть уравнения принимает вид: $5^{x^2 + x - 12}$.

2. Преобразуем правую часть уравнения.

Подставим $0,2 = 5^{-1}$ и $25 = 5^2$ в правую часть:

$0,2^x \cdot 25^{x-4} = (5^{-1})^x \cdot (5^2)^{x-4}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$5^{-x} \cdot 5^{2(x-4)} = 5^{-x} \cdot 5^{2x-8}$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-x + (2x-8)} = 5^{x-8}$

Таким образом, правая часть уравнения принимает вид: $5^{x-8}$.

3. Решим полученное уравнение.

Приравняем левую и правую части после преобразований:

$5^{x^2 + x - 12} = 5^{x-8}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 + x - 12 = x - 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 + x - x - 12 + 8 = 0$

$x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Разложим его на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-2)(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x-2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x+2 = 0 \implies x_2 = -2$

Ответ: -2; 2.