Номер 6, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Решите уравнение $2 \cdot 25x - 5 \cdot 4x = 3 \cdot 10x$.

Исходное уравнение:

$2 \cdot 25^x - 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x$

Заметим, что основания степеней $25$, $4$ и $10$ можно выразить через простые множители $2$ и $5$:

$25 = 5^2$, $4 = 2^2$, $10 = 2 \cdot 5$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \cdot (5^2)^x - 5 \cdot (2^2)^x = 3 \cdot (2 \cdot 5)^x$

Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$, получим:

$2 \cdot 5^{2x} - 5 \cdot 2^{2x} = 3 \cdot 2^x \cdot 5^x$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Для его решения разделим все члены уравнения на $4^x = 2^{2x}$. Так как $4^x > 0$ при любом действительном $x$, то это преобразование является равносильным.

$\frac{2 \cdot 5^{2x}}{2^{2x}} - \frac{5 \cdot 2^{2x}}{2^{2x}} = \frac{3 \cdot 2^x \cdot 5^x}{2^{2x}}$

Упростим полученное выражение, используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$:

$2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 5 = 3 \cdot \frac{5^x}{2^x}$

$2 \cdot \left(\left(\frac{5}{2}\right)^x\right)^2 - 5 = 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$2t^2 - 3t - 5 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = \frac{5}{2}$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, следовательно, является посторонним.

Теперь выполним обратную замену для $t_1$:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{5}{2}$

Поскольку $\frac{5}{2}$ можно представить как $\left(\frac{5}{2}\right)^1$, получаем:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \left(\frac{5}{2}\right)^1$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$