Номер 6, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите множество решений неравенства $ \log^2_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}} x - 2 \ge 0 $.

Исходное неравенство: $log^2_{\frac{1}{4}} x + log_{\frac{1}{4}} x - 2 \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Введем замену переменной.

Пусть $t = log_{\frac{1}{4}} x$. Тогда неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно переменной $t$:

$t^2 + t - 2 \ge 0$.

3. Решим квадратное неравенство.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + t - 2 = 0$.

По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

$t_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

Парабола $y = t^2 + t - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 + t - 2 \ge 0$ выполняется при значениях $t$, находящихся вне интервала между корнями. То есть, решение неравенства есть совокупность:

$\begin{cases} t \le -2 \\ t \ge 1 \end{cases}$

4. Выполним обратную замену.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\begin{cases} log_{\frac{1}{4}} x \le -2 \\ log_{\frac{1}{4}} x \ge 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство из совокупности.

Для первого неравенства $log_{\frac{1}{4}} x \le -2$:

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{4}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{4} < 1$), логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}$

$x \ge 4^2$

$x \ge 16$

Для второго неравенства $log_{\frac{1}{4}} x \ge 1$:

Аналогично, меняем знак неравенства:

$x \le \left(\frac{1}{4}\right)^{1}$

$x \le \frac{1}{4}$

5. Объединим решения и учтем ОДЗ.

Мы получили совокупность решений $x \ge 16$ и $x \le \frac{1}{4}$. Теперь необходимо учесть ОДЗ, согласно которому $x > 0$.

Для $x \ge 16$: это условие удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Для $x \le \frac{1}{4}$: с учетом ОДЗ получаем $0 < x \le \frac{1}{4}$.

Объединяя полученные интервалы, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{4}] \cup [16; +\infty)$.