Номер 5, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Решите неравенство:

1) $0,3^{\frac{x^2-3x-24}{x}} \le 0,09;$

2) $3^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0.$

Исходное неравенство: $0,3^{\frac{x^2-3x-24}{x}} \le 0,09$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 0,3: $0,09 = (0,3)^2$. Неравенство принимает вид: $0,3^{\frac{x^2-3x-24}{x}} \le (0,3)^2$.

Так как основание степени $0,3$ меньше 1 ($0 < 0,3 < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{x^2-3x-24}{x} \ge 2$.

Решим полученное рациональное неравенство. Область допустимых значений: $x \neq 0$. Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2-3x-24}{x} - 2 \ge 0$ $\frac{x^2-3x-24 - 2x}{x} \ge 0$ $\frac{x^2-5x-24}{x} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя: $x^2-5x-24 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$. $x_1 = \frac{5-11}{2} = -3$. $x_2 = \frac{5+11}{2} = 8$.

Найдем нуль знаменателя: $x = 0$. Отметим на числовой прямой точки -3, 0 и 8. Точки -3 и 8 будут закрашенными (входят в решение), так как неравенство нестрогое. Точка 0 будет выколотой, так как она обращает знаменатель в ноль. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, -3]$, $[-3, 0)$, $(0, 8]$, $[8, +\infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{(x+3)(x-8)}{x}$ на каждом интервале.

• При $x > 8$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $0 < x < 8$ (например, $x=1$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
• При $-3 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $[-3, 0)$ и $[8, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3, 0) \cup [8, +\infty)$.

Исходное неравенство: $3^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Преобразуем первое слагаемое, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2$. Неравенство примет вид: $3 \cdot (3^x)^2 + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Получим квадратное неравенство относительно $t$: $3t^2 + 8t - 3 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 + 8t - 3 = 0$: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$. $t_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$. $t_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком функции $y = 3t^2 + 8t - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при $t$ вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$: $t \le -3$ или $t \ge \frac{1}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -3$. Остается $t \ge \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену: $3^x \ge \frac{1}{3}$. Представим $\frac{1}{3}$ как степень с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Получаем неравенство: $3^x \ge 3^{-1}$.

Так как основание степени $3$ больше 1 ($3 > 1$), показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.