Страница 104 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Решите уравнение:

1) $36^x - 9 \cdot 6^x + 18 = 0$;

2) $\lg(x-3) + \lg(x+45) = 2$.

1) $36^x - 9 \cdot 6^x + 18 = 0$

Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному. Заметим, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 9t + 18 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: сумма корней равна 9, а их произведение равно 18. Корни легко подбираются: $t_1 = 3$ и $t_2 = 6$.

Либо можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2}$

$t_1 = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$t_2 = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 3$, то $6^x = 3$. По определению логарифма, $x = \log_6 3$.

2. Если $t = 6$, то $6^x = 6$. Так как $6 = 6^1$, то $x = 1$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; \log_6 3$.

2) $\lg(x-3) + \lg(x+45) = 2$

Это логарифмическое уравнение. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой все выражения под знаком логарифма положительны:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 45 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -45 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 3$.

Теперь решим само уравнение. Воспользуемся свойством логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\lg((x-3)(x+45)) = 2$

По определению десятичного логарифма (логарифма по основанию 10):

$(x-3)(x+45) = 10^2$

$(x-3)(x+45) = 100$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 45x - 3x - 135 = 100$

$x^2 + 42x - 135 - 100 = 0$

$x^2 + 42x - 235 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-235) = 1764 + 940 = 2704$

$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 \pm 52}{2}$

$x_1 = \frac{-42 - 52}{2} = \frac{-94}{2} = -47$

$x_2 = \frac{-42 + 52}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$).

Корень $x_1 = -47$ не удовлетворяет условию $x > 3$, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x > 3$ ($5 > 3$), следовательно, это и есть решение уравнения.

Ответ: $5$.

2. Решите неравенство:

1) $5 \cdot 3^x - 4 \cdot 3^{x-1} \geq 99$;

2) $2 \log_{0.8}(-x) \geq \log_{0.8}(10x + 24)$.

1) $5 \cdot 3^x - 4 \cdot 3^{x-1} \ge 99$

Сначала преобразуем неравенство, используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$5 \cdot 3^x - 4 \cdot \frac{3^x}{3} \ge 99$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки, чтобы упростить выражение:

$3^x \left(5 - \frac{4}{3}\right) \ge 99$

Выполним вычитание в скобках:

$3^x \left(\frac{15}{3} - \frac{4}{3}\right) \ge 99$

$3^x \cdot \frac{11}{3} \ge 99$

Чтобы выделить $3^x$, умножим обе части неравенства на $\frac{3}{11}$. Так как это число положительное, знак неравенства не изменится:

$3^x \ge 99 \cdot \frac{3}{11}$

$3^x \ge 9 \cdot 3$

$3^x \ge 27$

Представим число 27 в виде степени с основанием 3:

$3^x \ge 3^3$

Так как основание степени $3$ больше 1, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x \ge 3$

Ответ: $[3, +\infty)$

2) $2\log_{0,8}(-x) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

Решение начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} -x > 0 \\ 10x + 24 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} x < 0 \\ 10x > -24 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -2.4 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-2.4, 0)$.

Теперь преобразуем левую часть исходного неравенства, используя свойство логарифма $n \log_b a = \log_b (a^n)$:

$\log_{0,8}((-x)^2) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

$\log_{0,8}(x^2) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

Основание логарифма равно $0.8$, что находится в интервале $(0, 1)$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 \le 10x + 24$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 - 10x - 24 \le 0$

Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 10x - 24 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2} = 12$

Графиком функции $y = x^2 - 10x - 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями. Таким образом, решение квадратного неравенства: $x \in [-2, 12]$.

На последнем шаге необходимо учесть ОДЗ, найденную вначале. Найдем пересечение множеств $x \in [-2, 12]$ и $x \in (-2.4, 0)$:

$\begin{cases} x \in [-2, 12] \\ x \in (-2.4, 0) \end{cases} \implies x \in [-2, 0)$

Ответ: $[-2, 0)$

3. Найдите уравнение касательной к графику функции $y = 6e^{-2x} - 5x$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данном случае, нам дана функция $f(x) = 6e^{-2x} - 5x$ и абсцисса точки касания $x_0 = 0$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = 6e^{-2 \cdot 0} - 5 \cdot 0 = 6e^0 - 0 = 6 \cdot 1 = 6$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции для первого слагаемого и правило дифференцирования степенной функции для второго:

$f'(x) = (6e^{-2x} - 5x)' = 6 \cdot (e^{-2x})' - (5x)' = 6 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) - 5 = -12e^{-2x} - 5$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$. Это значение является угловым коэффициентом касательной:

$f'(x_0) = f'(0) = -12e^{-2 \cdot 0} - 5 = -12e^0 - 5 = -12 \cdot 1 - 5 = -17$.

Теперь у нас есть все необходимые данные для составления уравнения касательной: $x_0 = 0$, $f(x_0) = 6$ и $f'(x_0) = -17$. Подставим их в общую формулу:

$y = 6 + (-17)(x - 0)$

$y = 6 - 17x$

Таким образом, искомое уравнение касательной: $y = -17x + 6$.

Ответ: $y = -17x + 6$

4. Найдите первообразную функции $f(x) = 4\sin 4x + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}$, график которой проходит через точку $A \left( \frac{\pi}{3}; -1 \right)$.

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 4\sin(4x) + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$, график которой проходит через заданную точку, необходимо выполнить два шага. Сначала найти общий вид первообразной (неопределенный интеграл), а затем, используя координаты точки, найти значение постоянной интегрирования.

1. Нахождение общего вида первообразной

Общий вид первообразной $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:
$F(x) = \int f(x)dx = \int (4\sin(4x) + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2})dx$

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:
$F(x) = \int 4\sin(4x)dx + \int \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}dx$

Используем табличные интегралы $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)$ и $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx)$.
Для первого слагаемого $k=4$:
$\int 4\sin(4x)dx = 4 \cdot (-\frac{1}{4}\cos(4x)) = -\cos(4x)$
Для второго слагаемого $k=\frac{1}{2}$:
$\int \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/2}\sin\frac{x}{2} = \sin\frac{x}{2}$

Таким образом, общий вид первообразной для функции $f(x)$ равен:
$F(x) = -\cos(4x) + \sin\frac{x}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Нахождение постоянной интегрирования C

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $A(\frac{\pi}{3}; -1)$. Это значит, что при $x = \frac{\pi}{3}$, значение $F(x)$ равно $-1$. Подставим эти значения в найденную формулу для $F(x)$:
$F(\frac{\pi}{3}) = -1$
$-\cos(4 \cdot \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi/3}{2}) + C = -1$
$-\cos(\frac{4\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{6}) + C = -1$

Вычислим значения тригонометрических функций:
$\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение:
$-(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + C = -1$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C = -1$
$1 + C = -1$

Отсюда находим $C$:
$C = -1 - 1 = -2$

3. Запись искомой первообразной

Подставляем найденное значение $C=-2$ в общий вид первообразной:
$F(x) = -\cos(4x) + \sin\frac{x}{2} - 2$

Ответ: $F(x) = -\cos(4x) + \sin(\frac{x}{2}) - 2$

5. На плоскости расположены 25 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Для построения одного треугольника необходимо выбрать три точки, которые будут его вершинами. По условию задачи на плоскости дано 25 точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Это ключевое условие, которое гарантирует, что любой выбор трех точек из данного множества будет образовывать уникальный треугольник.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 3 точки из 25 имеющихся. Поскольку порядок выбора точек для построения треугольника не имеет значения (треугольник с вершинами A, B, C — это тот же самый треугольник, что и с вершинами B, C, A), мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек $n = 25$, а для построения треугольника нам нужно выбрать $k = 3$ точки. Подставим эти значения в формулу:
$C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3! \cdot 22!}$

Теперь распишем факториалы и проведем вычисления:
$C_{25}^3 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22!}{ (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{6}$
$C_{25}^3 = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 100 \cdot 23 = 2300$

Следовательно, из 25 точек можно образовать 2300 различных треугольников.

Ответ: 2300

6. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Значение $x$: 2, 5, 8

Вероятность: $\frac{2}{5}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}$

Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

Математическое ожидание $M(x)$ дискретной случайной величины $x$ — это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула для расчёта математического ожидания:

$M(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — это значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

В соответствии с таблицей, случайная величина $x$ принимает следующие значения с соответствующими вероятностями:

$x_1 = 2$ с вероятностью $p_1 = \frac{2}{5}$

$x_2 = 5$ с вероятностью $p_2 = \frac{1}{5}$

$x_3 = 8$ с вероятностью $p_3 = \frac{2}{5}$

Теперь подставим эти значения в формулу для математического ожидания:

$M(x) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3 = 2 \cdot \frac{2}{5} + 5 \cdot \frac{1}{5} + 8 \cdot \frac{2}{5}$

Выполним вычисления:

$M(x) = \frac{4}{5} + \frac{5}{5} + \frac{16}{5} = \frac{4 + 5 + 16}{5} = \frac{25}{5} = 5$

Таким образом, математическое ожидание данной случайной величины равно 5.

Ответ: 5

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 4 - 0,5x.$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графиков.

Для этого приравняем правые части уравнений функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 4 - 0,5x$:

$\frac{6}{x} = 4 - 0,5x$

Предполагая, что $x \neq 0$ (что верно для области определения функции $y = \frac{6}{x}$), умножим обе части уравнения на $x$:

$6 = 4x - 0,5x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,5x^2 - 4x + 6 = 0$

Умножим уравнение на 2 для избавления от дробного коэффициента:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Эти значения являются абсциссами точек пересечения графиков и будут пределами интегрирования.

2. Определить, какая функция является верхней на интервале интегрирования.

Возьмем любую точку из интервала $(2, 6)$, например, $x=4$, и найдем значения обеих функций в этой точке:

Для $y = \frac{6}{x}$: $y(4) = \frac{6}{4} = 1,5$

Для $y = 4 - 0,5x$: $y(4) = 4 - 0,5 \cdot 4 = 4 - 2 = 2$

Так как $2 > 1,5$, на всем интервале $[2, 6]$ график прямой $y = 4 - 0,5x$ находится выше графика гиперболы $y = \frac{6}{x}$.

3. Вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций в пределах от $x_1=2$ до $x_2=6$:

$S = \int_{2}^{6} \left( (4 - 0,5x) - \frac{6}{x} \right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int \left( 4 - 0,5x - \frac{6}{x} \right) dx = 4x - 0,5 \frac{x^2}{2} - 6 \ln|x| = 4x - \frac{x^2}{4} - 6 \ln|x|$

Теперь вычислим значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( 4x - \frac{x^2}{4} - 6 \ln|x| \right) \right|_{2}^{6}$

$S = \left( 4 \cdot 6 - \frac{6^2}{4} - 6 \ln|6| \right) - \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^2}{4} - 6 \ln|2| \right)$

$S = \left( 24 - \frac{36}{4} - 6 \ln(6) \right) - \left( 8 - \frac{4}{4} - 6 \ln(2) \right)$

$S = (24 - 9 - 6 \ln(6)) - (8 - 1 - 6 \ln(2))$

$S = (15 - 6 \ln(6)) - (7 - 6 \ln(2))$

$S = 15 - 6 \ln(6) - 7 + 6 \ln(2)$

$S = 8 - 6 \ln(6) + 6 \ln(2)$

Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, преобразуем выражение:

$S = 8 - 6(\ln(6) - \ln(2)) = 8 - 6 \ln\left(\frac{6}{2}\right) = 8 - 6 \ln(3)$

Ответ: $8 - 6 \ln(3)$