Страница 108 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона

1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{6P_{11} - P_{10}}{13P_9}$;

2) $\frac{C_7^4}{A_6^3}$.

1)

Для решения данного выражения воспользуемся определением перестановки $P_n$, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.

Подставим это определение в исходное выражение:
$\frac{6P_{11} - P_{10}}{13P_9} = \frac{6 \cdot 11! - 10!}{13 \cdot 9!}$

Чтобы упростить выражение, представим факториалы в числителе через наименьший факториал в выражении, то есть через $9!$.
$11! = 11 \cdot 10 \cdot 9!$
$10! = 10 \cdot 9!$

Теперь подставим эти значения обратно в дробь:
$\frac{6 \cdot (11 \cdot 10 \cdot 9!) - (10 \cdot 9!)}{13 \cdot 9!}$

Вынесем общий множитель $9!$ в числителе за скобки:
$\frac{9! \cdot (6 \cdot 11 \cdot 10 - 10)}{13 \cdot 9!}$

Сократим $9!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{6 \cdot 11 \cdot 10 - 10}{13} = \frac{660 - 10}{13} = \frac{650}{13}$

Выполним деление:
$\frac{650}{13} = 50$

Ответ: 50

2)

Для решения этого выражения необходимо использовать формулы для числа сочетаний $C_n^k$ и числа размещений $A_n^k$.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Сначала вычислим значение числителя $C_7^4$:
$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35$.

Теперь вычислим значение знаменателя $A_6^3$:
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.

Подставим полученные значения в исходную дробь:
$\frac{C_7^4}{A_6^3} = \frac{35}{120}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:
$\frac{35}{120} = \frac{35 \div 5}{120 \div 5} = \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{7}{24}$

2. Сколькими способами можно рассадить 15 человек в ряду, содержащем 15 мест?

Эта задача решается с помощью комбинаторики, а именно — нахождения числа перестановок. Нам нужно определить, сколькими различными способами можно упорядочить 15 человек на 15 местах. Так как каждый человек и каждое место уникальны, и порядок их расположения имеет значение, мы имеем дело с перестановками.

Рассуждаем следующим образом:

На первое место можно посадить любого из 15 человек, то есть у нас есть 15 вариантов выбора.

После того как один человек занял свое место, на второе место остается 14 кандидатов, то есть 14 вариантов.

На третье место остается 13 человек, то есть 13 вариантов, и так далее.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до последнего, пятнадцатого места, на которое останется только один человек и, соответственно, 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов для каждого места. Это произведение называется факториалом числа 15.

Число перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле:$P_n = n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$

В нашем случае $n = 15$, поэтому количество способов рассадки равно:$P_{15} = 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Вычислим значение факториала:$15! = 1 307 674 368 000$

Таким образом, существует 1 307 674 368 000 способов рассадить 15 человек в ряду из 15 мест.

Ответ: $15! = 1 307 674 368 000$.

3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 7 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье, четвёртое и пятое места?

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов, которыми можно выбрать 5 спортсменов из 7 и расставить их на 5 призовых мест. Так как порядок, в котором спортсмены занимают места, важен (например, спортсмен А на первом месте и спортсмен Б на втором — это не то же самое, что спортсмен Б на первом и А на втором), мы имеем дело с размещениями.

Эту задачу можно решить с помощью правила умножения:

- На первое место может быть выбран любой из 7 спортсменов (7 вариантов).

- После того как занято первое место, на второе место может претендовать любой из оставшихся 6 спортсменов (6 вариантов).

- На третье место остается 5 кандидатов (5 вариантов).

- На четвертое — 4 кандидата (4 варианта).

- На пятое — 3 кандидата (3 варианта).

Общее число способов распределения мест равно произведению числа вариантов для каждого места:

$N = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$

Также можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество спортсменов ($n=7$), а $k$ — количество призовых мест ($k=5$).

Подставим значения в формулу:

$A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$

Таким образом, существует 2520 способов распределения первых пяти мест между семью спортсменами.

Ответ: 2520

4. Найдите все натуральные значения n, при которых выполняется неравенство $3^n \ge 12n - 9$.

Требуется найти все натуральные значения $n$, для которых выполняется неравенство $3^n \ge 12n - 9$. Натуральные числа — это $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$.

Для решения задачи сначала проверим неравенство для нескольких первых натуральных чисел, а затем используем метод математической индукции, чтобы доказать его для всех остальных подходящих значений.

Проверка для малых значений n

При $n=1$: $3^1 \ge 12(1) - 9$, что упрощается до $3 \ge 3$. Неравенство выполняется.

При $n=2$: $3^2 \ge 12(2) - 9$, что упрощается до $9 \ge 15$. Неравенство не выполняется.

При $n=3$: $3^3 \ge 12(3) - 9$, что упрощается до $27 \ge 27$. Неравенство выполняется.

При $n=4$: $3^4 \ge 12(4) - 9$, что упрощается до $81 \ge 39$. Неравенство выполняется.

Проверка показывает, что неравенство выполняется для $n=1$ и, по-видимому, для всех $n \ge 3$. Докажем, что неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Доказательство по методу математической индукции для $n \ge 3$

Пусть $P(n)$ — это утверждение $3^n \ge 12n - 9$.

Шаг 1: База индукции

Проверим утверждение для $n=3$. Как было показано выше, $27 \ge 27$, что верно. База индукции выполняется.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$. То есть, предположим, что выполняется неравенство: $3^k \ge 12k - 9$.

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$, то есть $3^{k+1} \ge 12(k+1) - 9$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $k+1$: $3^{k+1} = 3 \cdot 3^k$.

Используя индукционное предположение ($3^k \ge 12k - 9$), получаем: $3 \cdot 3^k \ge 3(12k - 9)$, что равносильно $3^{k+1} \ge 36k - 27$.

Теперь нам нужно доказать, что $36k - 27$ больше или равно правой части доказываемого неравенства, то есть $12(k+1) - 9 = 12k + 3$.

Проверим неравенство $36k - 27 \ge 12k + 3$:

$36k - 12k \ge 3 + 27$

$24k \ge 30$

$k \ge \frac{30}{24}$

$k \ge 1.25$.

Так как наш шаг индукции выполняется для $k \ge 3$, условие $k \ge 1.25$ очевидно выполнено.

Следовательно, для $k \ge 3$ верно: $3^{k+1} \ge 36k - 27 \ge 12k + 3$.

Это доказывает, что $3^{k+1} \ge 12(k+1) - 9$. Индукционный переход завершен.

По принципу математической индукции, неравенство $3^n \ge 12n - 9$ выполняется для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Объединяя результаты, мы заключаем, что данное неравенство выполняется для $n=1$ и для всех натуральных $n \ge 3$.

Ответ: $n \in \{1\} \cup \{n \in \mathbb{N} \mid n \ge 3\}$.

5. В разложении бинома $(x + \frac{1}{x^3})^8$ найдите номер члена, не содержащего $x$.

Для нахождения номера члена разложения бинома, не содержащего $x$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $k$ — это индекс члена, который принимает значения от $0$ до $n$.

В данном случае, бином имеет вид $(x + \frac{1}{x^3})^8$.

Здесь $a = x$, $b = \frac{1}{x^3}$ и $n = 8$.

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_8^k (x)^{8-k} (\frac{1}{x^3})^k$

Упростим выражение, используя свойства степеней, чтобы найти общий вид показателя степени при $x$:

$T_{k+1} = C_8^k x^{8-k} (x^{-3})^k = C_8^k x^{8-k} x^{-3k} = C_8^k x^{8-k-3k} = C_8^k x^{8-4k}$

Член разложения не содержит $x$ (является свободным членом), если показатель степени при $x$ равен нулю, так как $x^0 = 1$.

Приравняем показатель степени к нулю и решим полученное уравнение относительно $k$:

$8 - 4k = 0$

$4k = 8$

$k = \frac{8}{4} = 2$

Мы нашли значение индекса $k$. Номер члена в разложении определяется как $k+1$.

Номер члена = $k+1 = 2+1 = 3$.

Следовательно, третий член разложения бинома не содержит $x$.

Ответ: 3.

6. В 11 классе учатся 14 девочек и 13 мальчиков. Сколько существует способов сформировать команду из 6 человек для участия в спортивной эстафете, если в команде должно быть 3 девочки и 3 мальчика?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Поскольку порядок выбора учеников для команды не важен, мы будем применять формулу для числа сочетаний. Процесс формирования команды можно разделить на два независимых этапа: выбор девочек и выбор мальчиков. Общее количество способов будет равно произведению числа способов на каждом этапе.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

1. Найдем количество способов выбрать 3 девочки из 14.

В классе 14 девочек, и нам нужно выбрать 3 из них. Подставляем значения в формулу сочетаний, где $n=14$ и $k=3$.

$C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$

Таким образом, существует 364 способа выбрать 3 девочки для команды.

2. Найдем количество способов выбрать 3 мальчика из 13.

В классе 13 мальчиков, и нам нужно выбрать 3 из них. Подставляем значения в формулу, где $n=13$ и $k=3$.

$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3!10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$

Таким образом, существует 286 способов выбрать 3 мальчика для команды.

3. Найдем общее количество способов сформировать команду.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов сформировать команду, необходимо перемножить количество способов выбора девочек и количество способов выбора мальчиков.

Общее число способов = (число способов выбрать девочек) $\times$ (число способов выбрать мальчиков)

$N = C_{14}^3 \times C_{13}^3 = 364 \times 286 = 104104$

Следовательно, существует 104104 способа сформировать команду из 3 девочек и 3 мальчиков.

Ответ: 104104