Страница 107 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Интеграл и его применение

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$;

2) $\int_{-2}^{-1} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.
Первообразная для подынтегральной функции $ f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} $ является табличным интегралом:
$ F(x) = \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования от 0 до $ \frac{\pi}{4} $:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0) $.
Вычислим значения тангенса в этих точках:
$ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $
$ \tan(0) = 0 $
Подставим найденные значения в выражение:
$ 1 - 0 = 1 $.
Ответ: 1.

2) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{-2}^{-1} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx $ также воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \frac{1}{x^2} + 1 $. Для этого представим $ \frac{1}{x^2} $ в виде степенной функции $ x^{-2} $ и проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:
$ F(x) = \int \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx = \int (x^{-2} + 1) dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + x = \frac{x^{-1}}{-1} + x = -\frac{1}{x} + x $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования от -2 до -1:
$ \int_{-2}^{-1} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx = \left(-\frac{1}{x} + x\right) \bigg|_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{(-1)} + (-1)\right) - \left(-\frac{1}{(-2)} + (-2)\right) $.
Выполним вычисления:
$ (1 - 1) - \left(\frac{1}{2} - 2\right) = 0 - \left(\frac{1}{2} - \frac{4}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} $.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^4$ и прямыми $y = 0$ и $x = 2$.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (при $f(x) \ge 0$), осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, находится с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В данной задаче фигура ограничена графиком функции $y = x^4$, прямой $y=0$ (ось Ox) и прямой $x=2$.

Левую границу интегрирования найдем, определив точку пересечения графика $y=x^4$ с прямой $y=0$:

$x^4 = 0 \implies x=0$

Таким образом, пределы интегрирования — от $a=0$ до $b=2$. На этом отрезке функция $y = x^4$ является неотрицательной ($x^4 \ge 0$), поэтому формула для площади применима.

Составим и вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{2} x^4 dx$

Используя формулу для первообразной степенной функции ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$), находим первообразную для $f(x) = x^4$:

$F(x) = \frac{x^5}{5}$

Теперь подставим пределы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{0}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{32}{5} - 0 = \frac{32}{5}$

Площадь фигуры равна $\frac{32}{5}$ квадратных единиц, или $6.4$.

Ответ: $\frac{32}{5}$

3. Найдите первообразную функции $f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7$, график которой проходит через точку $A(1; -4)$.

Для того чтобы найти первообразную функции $f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной, которую обозначим как $F(x)$, находится по правилам интегрирования.

$F(x) = \int (5x^4 + 3x^2 - 7)dx = \int 5x^4 dx + \int 3x^2 dx - \int 7 dx$

Применяя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 7x + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 7x + C$

Упростив выражение, получим общий вид первообразной:

$F(x) = x^5 + x^3 - 7x + C$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

В условии сказано, что график искомой первообразной проходит через точку $A(1; -4)$. Это означает, что при $x=1$ значение функции $F(x)$ равно $-4$, то есть $F(1) = -4$. Подставим эти значения в полученное уравнение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$.

$F(1) = 1^5 + 1^3 - 7 \cdot 1 + C = -4$

$1 + 1 - 7 + C = -4$

$-5 + C = -4$

$C = -4 + 5$

$C = 1$

Теперь, когда значение константы найдено, подставим его в общий вид первообразной, чтобы получить окончательный ответ.

$F(x) = x^5 + x^3 - 7x + 1$

Ответ: $F(x) = x^5 + x^3 - 7x + 1$

4. Вычислите интеграл:

1) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 2\sin 2x - \frac{1}{3}\cos \frac{x}{3} \right) dx; $

2) $ \int_{0}^{6} \left( x + \frac{5}{\sqrt{0.5x + 1}} \right) dx. $

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Исходный интеграл:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 2\sin{2x} - \frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}} \right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2\sin{2x} - \frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}}$. Интеграл разности равен разности интегралов.

Первообразная для первого слагаемого $2\sin{2x}$:

$\int 2\sin{2x} dx = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos{2x}\right) = -\cos{2x}$

Первообразная для второго слагаемого $-\frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}}$:

$\int \left(-\frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}}\right) dx = -\frac{1}{3} \int \cos{\frac{x}{3}} dx = -\frac{1}{3} \cdot \left(3\sin{\frac{x}{3}}\right) = -\sin{\frac{x}{3}}$

Таким образом, общая первообразная $F(x) = -\cos{2x} - \sin{\frac{x}{3}}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 2\sin{2x} - \frac{1}{3}\cos{\frac{x}{3}} \right) dx = \left. \left(-\cos{2x} - \sin{\frac{x}{3}}\right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

Вычислим значение первообразной на верхнем пределе ($x = \frac{\pi}{2}$):

$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi/2}{3}\right) = -\cos(\pi) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -(-1) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Вычислим значение первообразной на нижнем пределе ($x = 0$):

$F(0) = -\cos(2 \cdot 0) - \sin\left(\frac{0}{3}\right) = -\cos(0) - \sin(0) = -1 - 0 = -1$

Найдем разность значений:

$F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $1,5$

2) Вычислим следующий определенный интеграл:

$\int_{0}^{6} \left( x + \frac{5}{\sqrt{0,5x + 1}} \right) dx$

Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

$\int_{0}^{6} x dx + \int_{0}^{6} \frac{5}{\sqrt{0,5x + 1}} dx$

Найдем первообразную для каждого слагаемого.

Первообразная для $x$ равна $\frac{x^2}{2}$.

Для нахождения первообразной второго слагаемого представим его в виде $5(0,5x+1)^{-\frac{1}{2}}$. Воспользуемся формулой $\int k(ax+b)^n dx = k\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$:

$\int 5(0,5x+1)^{-\frac{1}{2}} dx = 5 \cdot \frac{(0,5x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{0,5 \cdot (-\frac{1}{2}+1)} = 5 \cdot \frac{(0,5x+1)^{\frac{1}{2}}}{0,5 \cdot \frac{1}{2}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{0,5x+1}}{0,25} = 20\sqrt{0,5x+1}$

Общая первообразная для подынтегральной функции: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 20\sqrt{0,5x+1}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{x^2}{2} + 20\sqrt{0,5x+1}\right) \right|_{0}^{6}$

Вычислим значение на верхнем пределе ($x = 6$):

$F(6) = \frac{6^2}{2} + 20\sqrt{0,5 \cdot 6 + 1} = \frac{36}{2} + 20\sqrt{3+1} = 18 + 20\sqrt{4} = 18 + 20 \cdot 2 = 18 + 40 = 58$

Вычислим значение на нижнем пределе ($x = 0$):

$F(0) = \frac{0^2}{2} + 20\sqrt{0,5 \cdot 0 + 1} = 0 + 20\sqrt{1} = 20$

Найдем разность значений:

$F(6) - F(0) = 58 - 20 = 38$

Ответ: $38$

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 + 1$ и прямой $y = x + 3$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, сначала необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 1 = x + 3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а их сумма равна 1. Подбором находим корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = 2$

Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами -1 и 2. Эти значения являются пределами интегрирования.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности функции, график которой расположен выше, и функции, график которой расположен ниже, на отрезке $[a, b]$. В нашем случае $a = -1$, $b = 2$.

Чтобы определить, какая функция больше на интервале $(-1, 2)$, возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$:

Для параболы: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$

Для прямой: $y(0) = 0 + 3 = 3$

Так как $3 > 1$, на интервале $(-1, 2)$ график прямой $y = x + 3$ находится выше графика параболы $y = x^2 + 1$.

Теперь составим интеграл для вычисления площади:

$S = \int_{-1}^{2} ((x + 3) - (x^2 + 1)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{-1}^{2} (x + 3 - x^2 - 1) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Теперь вычислим этот определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^{2}$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$S = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{-1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{2+3-12}{6} \right)$

$S = \left( \frac{18 - 8}{3} \right) - \left( \frac{-7}{6} \right)$

$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: 4,5

6. На рисунке 14 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-2; 6]$. Вычислите интеграл $\int_{-1}^{4} f(x)dx.$

Рис. 14

Определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x)dx$ для неотрицательной функции $f(x)$ численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x=a$ и $x=b$. В нашем случае необходимо вычислить интеграл $\int_{-1}^{4} f(x)dx$. Это соответствует площади фигуры под графиком функции на промежутке от $x=-1$ до $x=4$.

Из графика видно, что функция $f(x)$ является кусочно-линейной. Найдем уравнения для каждого из двух линейных участков.

1. Для промежутка $x \in [-2, 0]$: График проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 4)$. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равен $k_1 = \frac{4 - 0}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2$. Так как график проходит через точку $(0, 4)$, то свободный член $b=4$. Уравнение прямой: $f(x) = 2x + 4$ при $x \in [-2, 0]$.

2. Для промежутка $x \in [0, 6]$: График проходит через точки $(0, 4)$ и $(6, 0)$. Угловой коэффициент равен $k_2 = \frac{0 - 4}{6 - 0} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. Свободный член $b=4$. Уравнение прямой: $f(x) = -\frac{2}{3}x + 4$ при $x \in [0, 6]$.

Поскольку на отрезке $[-1, 4]$ функция задается двумя разными формулами (смена происходит в точке $x=0$), разобьем интеграл на два:$\int_{-1}^{4} f(x)dx = \int_{-1}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{4} f(x)dx$

Каждый из этих интегралов представляет собой площадь трапеции.

Вычислим первый интеграл как площадь трапеции $S_1$ на промежутке $[-1, 0]$. Основаниями трапеции являются значения функции в точках $x=-1$ и $x=0$:$f(-1) = 2(-1) + 4 = 2$$f(0) = 4$Высота трапеции $h_1 = 0 - (-1) = 1$. Площадь $S_1 = \frac{f(-1) + f(0)}{2} \cdot h_1 = \frac{2 + 4}{2} \cdot 1 = 3$.

Вычислим второй интеграл как площадь трапеции $S_2$ на промежутке $[0, 4]$. Основаниями трапеции являются значения функции в точках $x=0$ и $x=4$:$f(0) = 4$$f(4) = -\frac{2}{3}(4) + 4 = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$Высота трапеции $h_2 = 4 - 0 = 4$. Площадь $S_2 = \frac{f(0) + f(4)}{2} \cdot h_2 = \frac{4 + \frac{4}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{\frac{12}{3} + \frac{4}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{\frac{16}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{16}{6} \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 4 = \frac{32}{3}$.

Искомое значение интеграла равно сумме площадей:$\int_{-1}^{4} f(x)dx = S_1 + S_2 = 3 + \frac{32}{3} = \frac{9}{3} + \frac{32}{3} = \frac{41}{3}$.

Ответ: $\frac{41}{3}$