Номер 6, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. На рисунке 14 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-2; 6]$. Вычислите интеграл $\int_{-1}^{4} f(x)dx.$

Рис. 14

Определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x)dx$ для неотрицательной функции $f(x)$ численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x=a$ и $x=b$. В нашем случае необходимо вычислить интеграл $\int_{-1}^{4} f(x)dx$. Это соответствует площади фигуры под графиком функции на промежутке от $x=-1$ до $x=4$.

Из графика видно, что функция $f(x)$ является кусочно-линейной. Найдем уравнения для каждого из двух линейных участков.

1. Для промежутка $x \in [-2, 0]$: График проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 4)$. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равен $k_1 = \frac{4 - 0}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2$. Так как график проходит через точку $(0, 4)$, то свободный член $b=4$. Уравнение прямой: $f(x) = 2x + 4$ при $x \in [-2, 0]$.

2. Для промежутка $x \in [0, 6]$: График проходит через точки $(0, 4)$ и $(6, 0)$. Угловой коэффициент равен $k_2 = \frac{0 - 4}{6 - 0} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. Свободный член $b=4$. Уравнение прямой: $f(x) = -\frac{2}{3}x + 4$ при $x \in [0, 6]$.

Поскольку на отрезке $[-1, 4]$ функция задается двумя разными формулами (смена происходит в точке $x=0$), разобьем интеграл на два:$\int_{-1}^{4} f(x)dx = \int_{-1}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{4} f(x)dx$

Каждый из этих интегралов представляет собой площадь трапеции.

Вычислим первый интеграл как площадь трапеции $S_1$ на промежутке $[-1, 0]$. Основаниями трапеции являются значения функции в точках $x=-1$ и $x=0$:$f(-1) = 2(-1) + 4 = 2$$f(0) = 4$Высота трапеции $h_1 = 0 - (-1) = 1$. Площадь $S_1 = \frac{f(-1) + f(0)}{2} \cdot h_1 = \frac{2 + 4}{2} \cdot 1 = 3$.

Вычислим второй интеграл как площадь трапеции $S_2$ на промежутке $[0, 4]$. Основаниями трапеции являются значения функции в точках $x=0$ и $x=4$:$f(0) = 4$$f(4) = -\frac{2}{3}(4) + 4 = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$Высота трапеции $h_2 = 4 - 0 = 4$. Площадь $S_2 = \frac{f(0) + f(4)}{2} \cdot h_2 = \frac{4 + \frac{4}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{\frac{12}{3} + \frac{4}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{\frac{16}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{16}{6} \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 4 = \frac{32}{3}$.

Искомое значение интеграла равно сумме площадей:$\int_{-1}^{4} f(x)dx = S_1 + S_2 = 3 + \frac{32}{3} = \frac{9}{3} + \frac{32}{3} = \frac{41}{3}$.

Ответ: $\frac{41}{3}$