Страница 97 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Игральный кубик бросают десять раз. Какова вероятность того, что пятёрка выпадет:

1) четыре раза;

2) больше пяти, но меньше восьми раз?

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события $k$ раз в $n$ независимых испытаниях. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где

• $n$ – общее число испытаний;
• $k$ – число наступлений события;
• $p$ – вероятность наступления события в одном испытании;
• $q$ – вероятность ненаступления события в одном испытании ($q = 1 - p$);
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

В нашем случае:

• Число бросков кубика (испытаний) $n = 10$.
• Событие – выпадение пятёрки.
• Вероятность выпадения пятёрки при одном броске $p = \frac{1}{6}$.
• Вероятность того, что пятёрка не выпадет, $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Теперь решим каждый пункт задачи.

1) четыре раза;

Требуется найти вероятность того, что пятёрка выпадет ровно 4 раза. Здесь $k = 4$.

Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_{10}(4) = C_{10}^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{10-4} = C_{10}^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^6$

Сначала вычислим число сочетаний $C_{10}^4$:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$

Теперь подставляем это значение обратно в формулу вероятности:

$P_{10}(4) = 210 \cdot \frac{1^4}{6^4} \cdot \frac{5^6}{6^6} = 210 \cdot \frac{5^6}{6^{10}}$

Вычислим степени:

$5^6 = 15625$

$6^{10} = 60466176$

Тогда:

$P_{10}(4) = 210 \cdot \frac{15625}{60466176} = \frac{3281250}{60466176}$

Сократим полученную дробь. Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$3281250 = 2 \cdot 3 \cdot 5^7 \cdot 7$

$60466176 = 6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10}$

$P_{10}(4) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5^7 \cdot 7}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{5^7 \cdot 7}{2^9 \cdot 3^9} = \frac{78125 \cdot 7}{512 \cdot 19683} = \frac{546875}{10077696}$

Приблизительное значение вероятности: $P_{10}(4) \approx 0.054$.

Ответ: $P_{10}(4) = \frac{546875}{10077696}$.

2) больше пяти, но меньше восьми раз?

Это означает, что пятёрка должна выпасть 6 или 7 раз ($5 < k < 8$). Так как эти события несовместны, искомая вероятность равна сумме вероятностей того, что пятёрка выпадет 6 раз, и того, что она выпадет 7 раз:

$P = P_{10}(6) + P_{10}(7)$

Вычислим каждое слагаемое по формуле Бернулли.

Для $k = 6$:

$P_{10}(6) = C_{10}^6 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^{10-6} = C_{10}^6 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^4$

$C_{10}^6 = C_{10}^{10-6} = C_{10}^4 = 210$

$P_{10}(6) = 210 \cdot \frac{1^6}{6^6} \cdot \frac{5^4}{6^4} = 210 \cdot \frac{5^4}{6^{10}} = 210 \cdot \frac{625}{60466176} = \frac{131250}{60466176}$

Для $k = 7$:

$P_{10}(7) = C_{10}^7 \cdot (\frac{1}{6})^7 \cdot (\frac{5}{6})^{10-7} = C_{10}^7 \cdot (\frac{1}{6})^7 \cdot (\frac{5}{6})^3$

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$

$P_{10}(7) = 120 \cdot \frac{1^7}{6^7} \cdot \frac{5^3}{6^3} = 120 \cdot \frac{5^3}{6^{10}} = 120 \cdot \frac{125}{60466176} = \frac{15000}{60466176}$

Теперь сложим вероятности:

$P = P_{10}(6) + P_{10}(7) = \frac{131250}{60466176} + \frac{15000}{60466176} = \frac{146250}{60466176}$

Сократим дробь:

$P = \frac{146250}{60466176} = \frac{73125}{30233088} = \frac{24375}{10077696} = \frac{8125}{3359232}$

Приблизительное значение вероятности: $P \approx 0.0024$.

Ответ: $P = \frac{8125}{3359232}$.

167. Игральный кубик бросают десять раз. Какова вероятность того, что число, кратное трём, выпадет:

1) три раза;

2) не более двух раз;

3) больше восьми раз?

Это задача на использование формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Общее число испытаний (бросков кубика) — $n=10$.

Сначала определим вероятность "успеха" в одном испытании. "Успех" — это выпадение числа, кратного трём. На стандартном игральном кубике (с гранями от 1 до 6) есть два таких числа: 3 и 6.

Вероятность успеха (p) в одном броске: $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Вероятность "неудачи" (q), то есть выпадения числа, не кратного трём, равна: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что событие произойдет ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, выглядит так: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

В нашем случае $n=10$, $p = \frac{1}{3}$, $q = \frac{2}{3}$. Формула принимает вид: $P_{10}(k) = C_{10}^k \cdot (\frac{1}{3})^k \cdot (\frac{2}{3})^{10-k}$

1) три раза
Требуется найти вероятность того, что число, кратное трём, выпадет ровно 3 раза. Здесь $k=3$.
$P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^{10-3}$
Вычисляем число сочетаний: $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.
Теперь подставляем все значения в формулу: $P_{10}(3) = 120 \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^7 = 120 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{128}{2187} = \frac{120 \cdot 128}{27 \cdot 2187} = \frac{15360}{59049}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{15360}{59049} = \frac{5120}{19683}$.
Это примерно равно 0,2601.
Ответ: $\frac{5120}{19683}$

2) не более двух раз
"Не более двух раз" означает, что событие произойдет 0, 1 или 2 раза. Мы должны найти сумму вероятностей для $k=0, k=1$ и $k=2$. $P(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$.
Вычисляем каждую вероятность:
$P_{10}(0) = C_{10}^0 \cdot (\frac{1}{3})^0 \cdot (\frac{2}{3})^{10} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1024}{59049} = \frac{1024}{59049}$.
$P_{10}(1) = C_{10}^1 \cdot (\frac{1}{3})^1 \cdot (\frac{2}{3})^9 = 10 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{512}{19683} = \frac{5120}{59049}$.
$P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^8 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{256}{6561} = 45 \cdot \frac{256}{59049} = \frac{11520}{59049}$.
Суммируем вероятности:
$P(k \le 2) = \frac{1024}{59049} + \frac{5120}{59049} + \frac{11520}{59049} = \frac{1024 + 5120 + 11520}{59049} = \frac{17664}{59049}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{17664}{59049} = \frac{5888}{19683}$.
Это примерно равно 0,2991.
Ответ: $\frac{5888}{19683}$

3) больше восьми раз
"Больше восьми раз" означает, что событие произойдет 9 или 10 раз. Мы должны найти сумму вероятностей для $k=9$ и $k=10$. $P(k > 8) = P_{10}(9) + P_{10}(10)$.
Вычисляем каждую вероятность:
$P_{10}(9) = C_{10}^9 \cdot (\frac{1}{3})^9 \cdot (\frac{2}{3})^1 = 10 \cdot \frac{1}{19683} \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{59049}$.
$P_{10}(10) = C_{10}^{10} \cdot (\frac{1}{3})^{10} \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{59049} \cdot 1 = \frac{1}{59049}$.
Суммируем вероятности:
$P(k > 8) = \frac{20}{59049} + \frac{1}{59049} = \frac{21}{59049}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{21}{59049} = \frac{7}{19683}$.
Это примерно равно 0,000356.
Ответ: $\frac{7}{19683}$

168. Что более вероятно: выиграть у равноценного игрока три партии из семи или четыре партии из девяти?

Для ответа на этот вопрос необходимо сравнить вероятности двух событий. Поскольку игроки равноценны, вероятность выигрыша ($p$) в любой отдельной партии равна вероятности проигрыша ($q$), то есть $p = q = 0.5$. Для расчета вероятности используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получить ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

выиграть три партии из семи

Рассчитаем вероятность $P_1$ для этого события. В данном случае общее число партий $n=7$, а число необходимых выигрышей $k=3$.
$P_1 = C_7^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{7-3} = C_7^3 \cdot (0.5)^7$
Найдем число сочетаний:
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$
Тогда вероятность равна:
$P_1 = 35 \cdot (\frac{1}{2})^7 = 35 \cdot \frac{1}{128} = \frac{35}{128}$

выиграть четыре партии из девяти

Рассчитаем вероятность $P_2$ для второго события. Здесь общее число партий $n=9$, а число необходимых выигрышей $k=4$.
$P_2 = C_9^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{9-4} = C_9^4 \cdot (0.5)^9$
Найдем число сочетаний:
$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$
Тогда вероятность равна:
$P_2 = 126 \cdot (\frac{1}{2})^9 = 126 \cdot \frac{1}{512} = \frac{126}{512}$

Теперь необходимо сравнить полученные вероятности: $P_1 = \frac{35}{128}$ и $P_2 = \frac{126}{512}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 512:
$P_1 = \frac{35}{128} = \frac{35 \cdot 4}{128 \cdot 4} = \frac{140}{512}$
Поскольку $140 > 126$, то и $\frac{140}{512} > \frac{126}{512}$.
Следовательно, $P_1 > P_2$. Это означает, что выиграть три партии из семи более вероятно.
Ответ: более вероятно выиграть три партии из семи.

169. По таблице распределения вероятностей случайной величины $x$ найдите значение переменной $a$.

1)

2)

1)

Основное свойство таблицы распределения вероятностей случайной величины заключается в том, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1 (или 100%, если вероятности выражены в процентах). В заголовке таблицы указано "Вероятность, %", следовательно, сумма всех значений в этой строке должна быть равна 100. Значения 0,16, скорее всего, представляют собой 16%, так как это делает задачу сопоставимой со вторым пунктом, где вероятности даны целыми числами.

Составим уравнение, просуммировав все вероятности в процентах:
$16 + 16 + a + 16 + 3a = 100$

Сгруппируем и сложим известные числа и переменные:
$(16 + 16 + 16) + (a + 3a) = 100$
$48 + 4a = 100$

Теперь решим получившееся линейное уравнение относительно $a$:
$4a = 100 - 48$
$4a = 52$
$a = \frac{52}{4}$
$a = 13$

Для проверки подставим найденное значение $a=13$ в сумму вероятностей:
$16 + 16 + 13 + 16 + 3 \cdot 13 = 48 + 13 + 39 = 48 + 52 = 100$.
Сумма равна 100%, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $a = 13$.

2)

Как и в предыдущем случае, сумма всех вероятностей, указанных в процентах, должна быть равна 100%.

Запишем уравнение, сложив все значения из строки "Вероятность, %":
$13 + a + 23 + 17 + 25 + 10 = 100$

Найдем сумму известных вероятностей:
$13 + 23 + 17 + 25 + 10 = (13 + 17) + (23 + 25) + 10 = 30 + 48 + 10 = 88$

Теперь подставим полученное значение в уравнение:
$88 + a = 100$

Найдем значение $a$:
$a = 100 - 88$
$a = 12$

Проверим результат, подставив $a=12$ в исходное выражение:
$13 + 12 + 23 + 17 + 25 + 10 = 25 + 23 + 17 + 25 + 10 = 48 + 17 + 25 + 10 = 65 + 25 + 10 = 90 + 10 = 100$.
Сумма равна 100%, что подтверждает верность решения.

Ответ: $a = 12$.

170. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Значение $x$: 2, 5, 6, 9, 12, 17

Вероятность, %: 9, 21, 45, 5, 12, 8

Найдите:

1) $P(x=5)$;

2) $P(x=4)$;

3) $P(x \geq 9)$;

4) $P(x<6)$;

5) $P(6 \leq x < 17)$.

Для решения задачи воспользуемся данной таблицей распределения вероятностей случайной величины $x$. Вероятности в таблице указаны в процентах.

1) P (x = 5);
Вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение 5, указана непосредственно в таблице. Находим в строке "Значение x" число 5 и смотрим соответствующую ему вероятность в строке "Вероятность, %".
Для $x = 5$ вероятность составляет 21%.
Ответ: 21%.

2) P (x = 4);
Случайная величина $x$ может принимать только значения, указанные в таблице: 2, 5, 6, 9, 12, 17. Значение $x = 4$ не является одним из возможных значений для данной случайной величины. Следовательно, событие $x = 4$ является невозможным, и его вероятность равна нулю.
Ответ: 0%.

3) P (x ≥ 9);
Событие $x \ge 9$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, большее или равное 9. Из таблицы видно, что этому условию удовлетворяют значения $x = 9$, $x = 12$ и $x = 17$. Поскольку эти события несовместны (случайная величина не может одновременно принять разные значения), вероятность их объединения равна сумме их вероятностей.
$P(x \ge 9) = P(x = 9) + P(x = 12) + P(x = 17)$
$P(x \ge 9) = 5\% + 12\% + 8\% = 25\%$
Ответ: 25%.

4) P (x < 6);
Событие $x < 6$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, строго меньшее 6. Этому условию из таблицы соответствуют значения $x = 2$ и $x = 5$. Вероятность этого события равна сумме вероятностей несовместных событий $x = 2$ и $x = 5$.
$P(x < 6) = P(x = 2) + P(x = 5)$
$P(x < 6) = 9\% + 21\% = 30\%$
Ответ: 30%.

5) P (6 ≤ x < 17);
Событие $6 \le x < 17$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, большее или равное 6, но строго меньшее 17. Этому условию соответствуют значения $x = 6$, $x = 9$ и $x = 12$. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих несовместных событий.
$P(6 \le x < 17) = P(x = 6) + P(x = 9) + P(x = 12)$
$P(6 \le x < 17) = 45\% + 5\% + 12\% = 62\%$
Ответ: 62%.