Страница 92 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. На прямой отметили 16 точек, а на параллельной ей прямой — 10 точек. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы составить четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, необходимо выбрать 4 точки. Важное условие для существования невырожденного четырёхугольника — никакие три его вершины не должны лежать на одной прямой.

В данной задаче все точки расположены на двух параллельных прямых. Пусть на первой прямой ($L_1$) находится 16 точек, а на второй ($L_2$) — 10 точек.

Рассмотрим, как можно выбрать 4 точки:

• Если выбрать 3 точки на одной прямой (например, на $L_1$) и 1 точку на другой (на $L_2$), то получится треугольник.
• Если выбрать все 4 точки на одной прямой, то они образуют лишь отрезок.

Единственный способ сформировать четырёхугольник — это выбрать 2 вершины на первой прямой и 2 вершины на второй. Любая такая комбинация из четырёх точек (две на одной параллельной прямой и две на другой) будет образовывать трапецию.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 2 точки из 16 на первой прямой и числа способов выбрать 2 точки из 10 на второй прямой, а затем перемножить эти результаты.

Число способов выбрать 2 точки из 16 на первой прямой находится по формуле сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2! \cdot 14!} = \frac{15 \cdot 16}{2 \cdot 1} = 120$ способов.

Число способов выбрать 2 точки из 10 на второй прямой:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 45$ способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество четырёхугольников равно произведению числа способов выбора точек на каждой из прямых:

$N = C_{16}^2 \cdot C_{10}^2 = 120 \cdot 45 = 5400$.

Ответ: 5400

128. На прямой отметили 16 точек, а на параллельной ей прямой — 10 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы построить треугольник, необходимо выбрать три вершины так, чтобы они не лежали на одной прямой. В данной задаче точки расположены на двух параллельных прямых. Обозначим первую прямую, на которой 16 точек, как L1, а вторую прямую, на которой 10 точек, — как L2.

Поскольку все точки на одной прямой коллинеарны, три вершины треугольника не могут быть выбраны с одной и той же прямой. Следовательно, существуют два возможных случая для выбора вершин треугольника:

Случай 1: Две вершины на прямой L1 и одна вершина на прямой L2.

Количество способов выбрать 2 вершины из 16 точек на прямой L1 вычисляется с помощью формулы сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 2 точки из 16: $C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 120$.

Количество способов выбрать 1 вершину из 10 точек на прямой L2: $C_{10}^1 = 10$.

Общее число треугольников для этого случая, согласно комбинаторному правилу произведения, равно:
$N_1 = C_{16}^2 \cdot C_{10}^1 = 120 \cdot 10 = 1200$.

Случай 2: Одна вершина на прямой L1 и две вершины на прямой L2.

Количество способов выбрать 1 вершину из 16 точек на прямой L1: $C_{16}^1 = 16$.

Количество способов выбрать 2 вершины из 10 точек на прямой L2:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

Общее число треугольников для этого случая равно:
$N_2 = C_{16}^1 \cdot C_{10}^2 = 16 \cdot 45 = 720$.

Итоговое количество треугольников.

Чтобы найти общее количество всех возможных треугольников, нужно сложить количество треугольников, полученное в первом и втором случаях, согласно комбинаторному правилу суммы:

$N = N_1 + N_2 = 1200 + 720 = 1920$.

Ответ: 1920

129. Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 19 пять чисел так, чтобы среди выбранных было ровно два чётных числа?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторный подход. Нам нужно выбрать 5 чисел из набора натуральных чисел от 1 до 19. Выборка должна удовлетворять условию: ровно два числа должны быть чётными, а остальные, соответственно, нечётными.

Сначала определим, сколько чётных и нечётных чисел содержится в диапазоне от 1 до 19.

• Чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Всего 9 чётных чисел.
• Нечётные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Всего 10 нечётных чисел.

Задача разбивается на два независимых действия:

1. Выбрать 2 чётных числа из 9 имеющихся.
2. Выбрать 3 нечётных числа из 10 имеющихся.

Поскольку порядок выбора чисел не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Найдём количество способов выбрать 2 чётных числа из 9. Здесь $n=9$, $k=2$.

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ способов.

2. Найдём количество способов выбрать 3 нечётных числа из 10. Здесь $n=10$, $k=3$.

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ способов.

Чтобы найти общее количество способов выбрать 5 чисел, удовлетворяющих условию, нужно перемножить количество способов для каждого действия (согласно правилу произведения в комбинаторике).

Общее число способов = $C_9^2 \times C_{10}^3 = 36 \times 120 = 4320$.

Ответ: 4320

130. В воинском подразделении служат 12 человек. Их нужно разделить на три группы по 4 человека в каждой для охраны трёх объектов. Сколько существует способов это сделать?

Данная задача относится к области комбинаторики. Нам необходимо найти общее число способов разделения 12 различных людей на три группы по 4 человека, при этом каждая группа назначается для охраны одного из трёх различных объектов. Поскольку объекты различны, то и группы, которые им назначаются, являются различимыми (упорядоченными).

Решение можно разбить на три последовательных шага:

1. Выбор первой группы для охраны первого объекта. Нужно выбрать 4 человека из 12. Порядок выбора людей внутри группы не имеет значения, поэтому используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Количество способов для первого шага: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$ способов.
2. Выбор второй группы для охраны второго объекта. После выбора первой группы осталось $12 - 4 = 8$ человек. Из них нужно выбрать 4 человека для второй группы. Количество способов для второго шага: $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$ способов.
3. Выбор третьей группы для охраны третьего объекта. Оставшиеся $8 - 4 = 4$ человека формируют третью группу. Количество способов для третьего шага: $C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$ способ.

Для нахождения общего числа способов необходимо перемножить количество способов на каждом шаге, так как эти выборы являются независимыми событиями.

Общее количество способов $N = C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4 = 495 \times 70 \times 1 = 34650$.

Этот же результат можно получить, используя формулу для полиномиального коэффициента (числа способов упорядоченного разбиения множества): $N = \frac{12!}{4!4!4!} = \frac{479001600}{24 \cdot 24 \cdot 24} = \frac{479001600}{13824} = 34650$.

Ответ: 34650.

131. Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 19 пять чисел так, чтобы среди выбранных было не менее двух чётных чисел?

Для решения этой комбинаторной задачи сначала определим состав исходного множества чисел. В диапазоне натуральных чисел от 1 до 19 содержится 19 чисел. Разобьем их на две группы:

• Чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Всего 9 чётных чисел.
• Нечётные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Всего 10 нечётных чисел.

Нам необходимо выбрать 5 чисел из этих 19. Условие задачи — «не менее двух чётных чисел». Это означает, что в нашей выборке из 5 чисел может быть 2, 3, 4 или 5 чётных чисел. Поскольку порядок выбора чисел не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Прямой подсчёт

Этот способ заключается в том, чтобы рассмотреть все возможные случаи, удовлетворяющие условию, и сложить полученные количества способов.

1. Выбрано 2 чётных и 3 нечётных числа.
Число способов выбрать 2 чётных числа из 9: $C_9^2 = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$.
Число способов выбрать 3 нечётных числа из 10: $C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.
Общее число способов для этого случая (по правилу произведения): $C_9^2 \cdot C_{10}^3 = 36 \cdot 120 = 4320$.

2. Выбрано 3 чётных и 2 нечётных числа.
Число способов выбрать 3 чётных из 9: $C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$.
Число способов выбрать 2 нечётных из 10: $C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.
Общее число способов: $C_9^3 \cdot C_{10}^2 = 84 \cdot 45 = 3780$.

3. Выбрано 4 чётных и 1 нечётное число.
Число способов выбрать 4 чётных из 9: $C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.
Число способов выбрать 1 нечётное из 10: $C_{10}^1 = 10$.
Общее число способов: $C_9^4 \cdot C_{10}^1 = 126 \cdot 10 = 1260$.

4. Выбрано 5 чётных и 0 нечётных чисел.
Число способов выбрать 5 чётных из 9: $C_9^5 = C_9^4 = 126$.
Число способов выбрать 0 нечётных из 10: $C_{10}^0 = 1$.
Общее число способов: $C_9^5 \cdot C_{10}^0 = 126 \cdot 1 = 126$.

Теперь сложим количество способов для всех рассмотренных случаев, чтобы найти итоговый результат:
$4320 + 3780 + 1260 + 126 = 9486$.

Способ 2. Метод исключения (через дополнение)

Этот метод часто бывает проще. Найдём общее число способов выбрать 5 любых чисел из 19, а затем вычтем из него число «неблагоприятных» способов. Неблагоприятные способы — это те, где чётных чисел меньше двух, то есть 0 или 1.

1. Общее число способов.
Число способов выбрать 5 чисел из 19:
$C_{19}^5 = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11628$.

2. Число неблагоприятных способов.
а) 0 чётных и 5 нечётных чисел. Все 5 чисел выбираются из 10 нечётных. Число способов: $C_9^0 \cdot C_{10}^5 = 1 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252$.
б) 1 чётное и 4 нечётных числа. Выбираем 1 чётное из 9 и 4 нечётных из 10. Число способов: $C_9^1 \cdot C_{10}^4 = 9 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 210 = 1890$.
Общее число неблагоприятных способов: $252 + 1890 = 2142$.

3. Итоговый результат.
Вычитаем из общего числа способов число неблагоприятных:
$11628 - 2142 = 9486$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 9486

132. Прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны, но не лежат в одной плоскости. На указанных прямых отметили соответственно 6, 9 и 13 точек. Сколько существует тетраэдров с вершинами в отмеченных точках?

Для построения тетраэдра необходимо выбрать четыре точки, не лежащие в одной плоскости. В задаче даны три параллельные прямые a, b и c, которые сами не лежат в одной плоскости. На прямой a отмечено 6 точек, на прямой b — 9 точек, и на прямой c — 13 точек.

Проанализируем, как можно выбрать 4 точки, чтобы они не были копланарными (не лежали в одной плоскости):

• Если выбрать 3 или 4 точки с одной и той же прямой, они будут лежать на одной прямой (коллинеарны) и не смогут образовать тетраэдр.
• Если выбрать все 4 точки только с двух прямых (например, с прямых a и b), то все они будут лежать в плоскости, определяемой этими двумя параллельными прямыми. Следовательно, они будут копланарны и также не смогут образовать тетраэдр.

Таким образом, для того чтобы 4 точки не были копланарными, их необходимо выбрать со всех трех прямых. Поскольку по условию прямые a, b и c не лежат в одной плоскости, любой набор из четырех точек, в котором представлены все три прямые, будет образовывать тетраэдр.

Единственный способ распределить 4 точки между тремя прямыми — это взять 2 точки с одной прямой и по 1 точке с двух других. Рассмотрим все три возможных случая такого выбора.

Случай 1: 2 точки с прямой a, 1 точка с прямой b и 1 точка с прямой c

Количество способов выбрать 2 точки из 6 на прямой a равно числу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.

Количество способов выбрать 1 точку из 9 на прямой b: $C_9^1 = 9$.

Количество способов выбрать 1 точку из 13 на прямой c: $C_{13}^1 = 13$.

Общее число тетраэдров для этого случая по правилу произведения: $N_1 = C_6^2 \cdot C_9^1 \cdot C_{13}^1 = 15 \cdot 9 \cdot 13 = 1755$.

Случай 2: 1 точка с прямой a, 2 точки с прямой b и 1 точка с прямой c

Количество способов выбрать 1 точку из 6 на прямой a: $C_6^1 = 6$.

Количество способов выбрать 2 точки из 9 на прямой b: $C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$.

Количество способов выбрать 1 точку из 13 на прямой c: $C_{13}^1 = 13$.

Общее число тетраэдров для этого случая: $N_2 = C_6^1 \cdot C_9^2 \cdot C_{13}^1 = 6 \cdot 36 \cdot 13 = 2808$.

Случай 3: 1 точка с прямой a, 1 точка с прямой b и 2 точки с прямой c

Количество способов выбрать 1 точку из 6 на прямой a: $C_6^1 = 6$.

Количество способов выбрать 1 точку из 9 на прямой b: $C_9^1 = 9$.

Количество способов выбрать 2 точки из 13 на прямой c: $C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78$.

Общее число тетраэдров для этого случая: $N_3 = C_6^1 \cdot C_9^1 \cdot C_{13}^2 = 6 \cdot 9 \cdot 78 = 4212$.

Общее количество тетраэдров

Так как эти три случая являются взаимоисключающими, общее количество тетраэдров равно сумме тетраэдров, полученных в каждом случае:

$N = N_1 + N_2 + N_3 = 1755 + 2808 + 4212 = 8775$.

Ответ: 8775

133. Раскройте скобки в выражении:

1) $(m-n)^6;$

2) $(2n-1)^7;$

3) $(x^2+1)^5;$

4) $\left(1-\frac{1}{n}\right)^4.$

Для раскрытия скобок в данных выражениях используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^{n-1} ab^{n-1} + C_n^n b^n$,

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, которые также можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) Раскроем скобки в выражении $(m-n)^6$.

Здесь $a=m$, $b=-n$ и $n=6$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

$(m-n)^6 = 1 \cdot m^6 + 6 \cdot m^5(-n)^1 + 15 \cdot m^4(-n)^2 + 20 \cdot m^3(-n)^3 + 15 \cdot m^2(-n)^4 + 6 \cdot m^1(-n)^5 + 1 \cdot (-n)^6$

$= m^6 - 6m^5n + 15m^4n^2 - 20m^3n^3 + 15m^2n^4 - 6mn^5 + n^6$

Ответ: $m^6 - 6m^5n + 15m^4n^2 - 20m^3n^3 + 15m^2n^4 - 6mn^5 + n^6$.

2) Раскроем скобки в выражении $(2n-1)^7$.

Здесь $a=2n$, $b=-1$ и $n=7$. Биномиальные коэффициенты для $n=7$ равны: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

$(2n-1)^7 = 1 \cdot (2n)^7 + 7 \cdot (2n)^6(-1)^1 + 21 \cdot (2n)^5(-1)^2 + 35 \cdot (2n)^4(-1)^3 + 35 \cdot (2n)^3(-1)^4 + 21 \cdot (2n)^2(-1)^5 + 7 \cdot (2n)^1(-1)^6 + 1 \cdot (-1)^7$

$= 1 \cdot 128n^7 - 7 \cdot 64n^6 + 21 \cdot 32n^5 - 35 \cdot 16n^4 + 35 \cdot 8n^3 - 21 \cdot 4n^2 + 7 \cdot 2n - 1$

$= 128n^7 - 448n^6 + 672n^5 - 560n^4 + 280n^3 - 84n^2 + 14n - 1$

Ответ: $128n^7 - 448n^6 + 672n^5 - 560n^4 + 280n^3 - 84n^2 + 14n - 1$.

3) Раскроем скобки в выражении $(x^2+1)^5$.

Здесь $a=x^2$, $b=1$ и $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

$(x^2+1)^5 = 1 \cdot (x^2)^5 + 5 \cdot (x^2)^4(1)^1 + 10 \cdot (x^2)^3(1)^2 + 10 \cdot (x^2)^2(1)^3 + 5 \cdot (x^2)^1(1)^4 + 1 \cdot (1)^5$

$= x^{10} + 5x^8 + 10x^6 + 10x^4 + 5x^2 + 1$

Ответ: $x^{10} + 5x^8 + 10x^6 + 10x^4 + 5x^2 + 1$.

4) Раскроем скобки в выражении $(1-\frac{1}{n})^4$.

Здесь $a=1$, $b=-\frac{1}{n}$ и $n=4$. Биномиальные коэффициенты для $n=4$ равны: 1, 4, 6, 4, 1.

$(1-\frac{1}{n})^4 = 1 \cdot (1)^4 + 4 \cdot (1)^3(-\frac{1}{n})^1 + 6 \cdot (1)^2(-\frac{1}{n})^2 + 4 \cdot (1)^1(-\frac{1}{n})^3 + 1 \cdot (-\frac{1}{n})^4$

$= 1 - 4 \cdot \frac{1}{n} + 6 \cdot \frac{1}{n^2} - 4 \cdot \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^4}$

$= 1 - \frac{4}{n} + \frac{6}{n^2} - \frac{4}{n^3} + \frac{1}{n^4}$

Ответ: $1 - \frac{4}{n} + \frac{6}{n^2} - \frac{4}{n^3} + \frac{1}{n^4}$.

134. Вычислите сумму $4^n + C_n^1 4^{n-1} + C_n^2 4^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 4 + 1.$

Данная сумма представляет собой выражение:

$S = 4^n + C_n^1 4^{n-1} + C_n^2 4^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 4 + 1$

Это выражение очень похоже на разложение бинома Ньютона, формула которого выглядит следующим образом:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$

Для того чтобы привести исходную сумму к виду разложения бинома, преобразуем ее, используя свойства биномиальных коэффициентов и степеней:

1. Первый член $4^n$ можно записать как $C_n^0 4^n$, так как $C_n^0 = 1$.

2. Последний член $1$ можно записать как $C_n^n 4^0$, так как $C_n^n = 1$ и $4^0 = 1$.

Таким образом, исходную сумму можно переписать в виде:

$S = C_n^0 4^n + C_n^1 4^{n-1} + C_n^2 4^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 4^1 + C_n^n 4^0$

Теперь сравним это выражение с формулой бинома Ньютона. Мы видим, что оно является разложением для $(a+b)^n$, если выбрать $a=4$.

Чтобы найти $b$, заметим, что в каждом члене нашей суммы как бы отсутствует множитель $b^k$. Это возможно, если $b=1$, так как $1^k = 1$ для любого $k$.

Подставим $b=1$ в нашу сумму, чтобы увидеть полное соответствие:

$S = C_n^0 4^n \cdot 1^0 + C_n^1 4^{n-1} \cdot 1^1 + C_n^2 4^{n-2} \cdot 1^2 + \dots + C_n^{n-1} 4^1 \cdot 1^{n-1} + C_n^n 4^0 \cdot 1^n$

Это в точности разложение $(4+1)^n$.

Следовательно, вычисляем значение суммы:

$S = (4+1)^n = 5^n$

Ответ: $5^n$

135. В выражении $(c + d)^n$ раскрыли скобки, используя формулу бинома Ньютона. Оказалось, что сумма коэффициентов полученного многочлена равна 1024. Найдите значение $n$.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для выражения $(c+d)^n$:

$(c+d)^n = \binom{n}{0}c^n d^0 + \binom{n}{1}c^{n-1}d^1 + \binom{n}{2}c^{n-2}d^2 + \dots + \binom{n}{n}c^0d^n$

Коэффициентами этого многочлена являются биномиальные коэффициенты: $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \dots, \binom{n}{n}$.

Сумма коэффициентов многочлена может быть найдена путем подстановки в него единиц вместо всех переменных. В данном случае, подставим $c=1$ и $d=1$ в исходное выражение $(c+d)^n$.

Сумма коэффициентов $S$ равна:

$S = (1+1)^n = 2^n$

С другой стороны, сумма коэффициентов — это сумма всех биномиальных коэффициентов в разложении:

$S = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n}$

Известно, что $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.

По условию задачи, сумма коэффициентов равна 1024. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$2^n = 1024$

Чтобы найти $n$, представим число 1024 в виде степени двойки:

$1024 = 2 \times 512 = 2 \times 2 \times 256 = 2^2 \times 2^8 = 2^{10}$

Таким образом, получаем:

$2^n = 2^{10}$

Отсюда следует, что $n=10$.

Ответ: $n=10$