Страница 87 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиками функций $y = \sqrt{5-x}$ и $y = \sqrt{x+3}$ и осью абсцисс;

2) графиком функции $y = \begin{cases} x+3 \text{ при } -3 \le x < 0, \\ 3\cos x \text{ при } 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \end{cases}$ и осью абсцисс.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y=\sqrt{5-x}$, $y=\sqrt{x+3}$ и осью абсцисс, сначала найдем точки пересечения этих графиков.

Графики $y=\sqrt{5-x}$ и $y=\sqrt{x+3}$ пересекают ось абсцисс ($y=0$) в точках $x=5$ и $x=-3$ соответственно. Это будут пределы интегрирования по оси Ox.

Найдем точку пересечения графиков функций $y=\sqrt{5-x}$ и $y=\sqrt{x+3}$:

$\sqrt{5-x} = \sqrt{x+3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$5-x = x+3$

$2x = 2$

$x=1$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=1$. Фигура состоит из двух частей. Площадь первой части находится под графиком $y=\sqrt{x+3}$ на отрезке $[-3, 1]$, а площадь второй части — под графиком $y=\sqrt{5-x}$ на отрезке $[1, 5]$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} \,dx + \int_{1}^{5} \sqrt{5-x} \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} \,dx = \int_{-3}^{1} (x+3)^{1/2} \,d(x+3) = \left[ \frac{2}{3}(x+3)^{3/2} \right]_{-3}^{1} = \frac{2}{3}(1+3)^{3/2} - \frac{2}{3}(-3+3)^{3/2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{1}^{5} \sqrt{5-x} \,dx = -\int_{1}^{5} (5-x)^{1/2} \,d(5-x) = -\left[ \frac{2}{3}(5-x)^{3/2} \right]_{1}^{5} = -(\frac{2}{3}(5-5)^{3/2} - \frac{2}{3}(5-1)^{3/2}) = -(0 - \frac{2}{3}(4)^{3/2}) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$

Суммарная площадь:

$S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

2) Фигура ограничена графиком кусочно-заданной функции и осью абсцисс. Площадь этой фигуры можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций.

Первая трапеция ограничена графиком функции $y = x+3$ и осью абсцисс на отрезке $[-3, 0]$. Вторая трапеция ограничена графиком функции $y = 3\cos x$ и осью абсцисс на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[-3, 0]$ функция $y = x+3 \ge 0$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = 3\cos x \ge 0$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = \int_{-3}^{0} (x+3) \,dx + \int_{0}^{\pi/2} 3\cos x \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-3}^{0} (x+3) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-3}^{0} = (\frac{0^2}{2} + 3 \cdot 0) - (\frac{(-3)^2}{2} + 3(-3)) = 0 - (\frac{9}{2} - 9) = -(-\frac{9}{2}) = \frac{9}{2}$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{0}^{\pi/2} 3\cos x \,dx = 3 \int_{0}^{\pi/2} \cos x \,dx = 3 [\sin x]_{0}^{\pi/2} = 3(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) = 3(1-0) = 3$

Суммарная площадь:

$S = \frac{9}{2} + 3 = \frac{9}{2} + \frac{6}{2} = \frac{15}{2}$

Ответ: $\frac{15}{2}$

95. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$, касательной, проведённой к данной параболе в точке с абсциссой $x_0 = 2$, и осью ординат.

Для нахождения площади фигуры, сначала необходимо составить уравнение касательной к параболе $y = 4 - x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Заданная функция $f(x) = 4 - x^2$. Найдем ее значение в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
$f'(2) = -2 \cdot 2 = -4$.

Подставим найденные значения $f(2)=0$ и $f'(2)=-4$ в уравнение касательной:
$y = 0 + (-4)(x - 2)$
$y = -4x + 8$.

Теперь у нас есть все линии, ограничивающие фигуру:

• Парабола: $y_1 = 4 - x^2$
• Касательная: $y_2 = -4x + 8$
• Ось ординат: $x = 0$

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху, и функции, ограничивающей ее снизу. Пределы интегрирования определяются осью ординат ($x=0$) и абсциссой точки касания ($x=2$).

Чтобы определить, какая из функций ($y_1$ или $y_2$) является верхней границей на интервале $[0, 2]$, сравним их значения в любой точке этого интервала, например, при $x=1$:
$y_1(1) = 4 - 1^2 = 3$
$y_2(1) = -4(1) + 8 = 4$
Так как $y_2(1) > y_1(1)$, на всем интервале $[0, 2]$ касательная $y = -4x + 8$ проходит выше параболы $y = 4 - x^2$.

Площадь $S$ фигуры равна:
$S = \int_{0}^{2} (y_2 - y_1) dx = \int_{0}^{2} ((-4x + 8) - (4 - x^2)) dx$.

Упростим подынтегральное выражение:
$(-4x + 8) - (4 - x^2) = -4x + 8 - 4 + x^2 = x^2 - 4x + 4$.

Вычислим интеграл:
$S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4 \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2}$.

Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 \right)$
$S = \left( \frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 8 \right) - 0 = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

96. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x + 4$ и $y = |x^2 + 4x|$.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x + 4$ и $y = |x^2 + 4x|$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти точки пересечения графиков.
2. Определить, какой из графиков находится выше на каждом из интервалов, образованных точками пересечения.
3. Вычислить площадь как сумму определенных интегралов от разности функций.

1. Нахождение точек пересечения

Приравняем функции друг к другу: $x + 4 = |x^2 + 4x|$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Выражение $x^2 + 4x$ неотрицательно, когда $x(x+4) \ge 0$, то есть при $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$, и отрицательно при $x \in (-4, 0)$.

Случай 1: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$
В этом случае $|x^2 + 4x| = x^2 + 4x$.
$x + 4 = x^2 + 4x$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют условиям: $1 \in [0, \infty)$ и $-4 \in (-\infty, -4]$.

Случай 2: $x \in (-4, 0)$
В этом случае $|x^2 + 4x| = -(x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.
$x + 4 = -x^2 - 4x$
$x^2 + 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_3 = -1$ и $x_4 = -4$.
Условию $x \in (-4, 0)$ удовлетворяет только корень $x_3 = -1$.

Таким образом, графики функций пересекаются в трех точках с абсциссами $x = -4$, $x = -1$ и $x = 1$. Эти точки разбивают область интегрирования на два интервала: $[-4, -1]$ и $[-1, 1]$.

2. Вычисление площади

Площадь $S$ искомой фигуры равна сумме площадей на этих двух интервалах.
На интервале $[-4, -1]$ определим, какая функция больше. Возьмем тестовую точку $x = -2$:
$y_{линия} = -2 + 4 = 2$
$y_{модуль} = |(-2)^2 + 4(-2)| = |4-8| = 4$
Поскольку $4 > 2$, на интервале $[-4, -1]$ график $y = |x^2 + 4x|$ (а именно $y = -x^2 - 4x$) лежит выше графика $y = x+4$.
Площадь на этом участке $S_1$ равна:
$S_1 = \int_{-4}^{-1} ((-x^2 - 4x) - (x + 4)) dx = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 5x - 4) dx$

На интервале $[-1, 1]$ определим, какая функция больше. Возьмем тестовую точку $x=0$:
$y_{линия} = 0 + 4 = 4$
$y_{модуль} = |0^2 + 4(0)| = 0$
Поскольку $4 > 0$, на интервале $[-1, 1]$ график $y = x+4$ лежит выше графика $y = |x^2 + 4x|$.
Площадь на этом участке $S_2$ нужно разбить на два интеграла, так как определение функции $y = |x^2 + 4x|$ меняется в точке $x=0$:
$S_2 = \int_{-1}^{1} ((x+4) - |x^2+4x|) dx = \int_{-1}^{0} ((x+4) - (-x^2-4x)) dx + \int_{0}^{1} ((x+4) - (x^2+4x)) dx$
$S_2 = \int_{-1}^{0} (x^2 + 5x + 4) dx + \int_{0}^{1} (-x^2 - 3x + 4) dx$

Теперь вычислим интегралы.

$S_1 = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 5x - 4) dx = \left. \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{-4}^{-1}$
$= \left(\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 \right) - \left(\frac{64}{3} - \frac{5 \cdot 16}{2} + 16 \right) = \left(\frac{2-15+24}{6} \right) - \left(\frac{64}{3} - 40 + 16 \right)$
$= \frac{11}{6} - \left(\frac{64 - 72}{3} \right) = \frac{11}{6} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{11}{6} + \frac{16}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

Вычислим части, составляющие $S_2$:
$\int_{-1}^{0} (x^2 + 5x + 4) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x \right) \right|_{-1}^{0}$
$= 0 - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right) = -\left(\frac{-2+15-24}{6}\right) = -\left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{11}{6}$.

$\int_{0}^{1} (-x^2 - 3x + 4) dx = \left. \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x \right) \right|_{0}^{1}$
$= \left(-\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4\right) - 0 = \frac{-2-9+24}{6} = \frac{13}{6}$.

$S_2 = \frac{11}{6} + \frac{13}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Общая площадь $S$ равна сумме $S_1$ и $S_2$:
$S = S_1 + S_2 = \frac{9}{2} + 4 = \frac{9+8}{2} = \frac{17}{2}$.

Ответ: $\frac{17}{2}$.

97. Найдите, при каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 9x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a - 3$, будет принимать наименьшее значение.

Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 9x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = a - 3$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Поскольку $a-3 < a$ и функция $y = 9x^2 \ge 0$ на любом интервале, площадь $S$ является функцией от $a$ и равна:

$S(a) = \int_{a-3}^{a} 9x^2 \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = 9x^2$:

$F(x) = \int 9x^2 \,dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S(a) = F(a) - F(a-3) = 3a^3 - 3(a-3)^3$

Раскроем скобки и упростим выражение для площади:

$S(a) = 3a^3 - 3(a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3) = 3a^3 - 3(a^3 - 9a^2 + 27a - 27)$

$S(a) = 3a^3 - 3a^3 + 27a^2 - 81a + 81 = 27a^2 - 81a + 81$

Мы получили функцию площади $S(a) = 27a^2 - 81a + 81$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $a^2$ положителен: $27 > 0$). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координату вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае переменная — $a$, $A=27$, $B=-81$.

$a = -\frac{-81}{2 \cdot 27} = \frac{81}{54} = \frac{3 \cdot 27}{2 \cdot 27} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, площадь фигуры принимает наименьшее значение при $a = 1.5$.

Ответ: $1.5$

98. При каком значении $a$ прямая $x = a$ разбивает фигуру, ограниченную графиком функции $y = \frac{8}{x}$ и прямыми $y = 0, x = 2, x = 10$, на две равновеликие фигуры?

Для решения задачи необходимо найти такое значение a, при котором площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{8}{x}$, $y=0$, $x=2$ и $x=a$, будет равна половине площади всей фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{8}{x}$, $y=0$, $x=2$ и $x=10$.

1. Найдем площадь всей фигуры.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x) \geq 0$, осью абсцисс и прямыми $x=c$ и $x=d$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{c}^{d} f(x) dx$.
В нашем случае $f(x) = \frac{8}{x}$, $c=2$, $d=10$.$$S = \int_{2}^{10} \frac{8}{x} dx$$Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{8}{x}$. Это $F(x) = 8 \ln|x|$.
По формуле Ньютона-Лейбница:$$S = F(10) - F(2) = 8 \ln|10| - 8 \ln|2|$$Так как на отрезке $[2, 10]$ значение $x$ положительно, знаки модуля можно опустить:$$S = 8 \ln(10) - 8 \ln(2) = 8 (\ln 10 - \ln 2) = 8 \ln\left(\frac{10}{2}\right) = 8 \ln 5$$

2. Найдем значение a.
Прямая $x=a$ делит фигуру на две равновеликие части. Это значит, что площадь фигуры от $x=2$ до $x=a$ должна быть равна половине общей площади $S$. Заметим, что $a$ должно находиться в интервале $(2, 10)$.$$ \int_{2}^{a} \frac{8}{x} dx = \frac{1}{2} S $$Подставим найденное значение $S$:$$ \int_{2}^{a} \frac{8}{x} dx = \frac{1}{2} (8 \ln 5) = 4 \ln 5 $$Вычислим интеграл в левой части уравнения:$$ \int_{2}^{a} \frac{8}{x} dx = [8 \ln|x|]_2^a = 8 \ln|a| - 8 \ln|2| = 8 \ln\left(\frac{a}{2}\right) $$Теперь приравняем полученное выражение к $4 \ln 5$:$$ 8 \ln\left(\frac{a}{2}\right) = 4 \ln 5 $$Разделим обе части уравнения на 8:$$ \ln\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{4}{8} \ln 5 = \frac{1}{2} \ln 5 $$Используя свойство логарифма $n \cdot \log_b c = \log_b (c^n)$, преобразуем правую часть:$$ \ln\left(\frac{a}{2}\right) = \ln(5^{1/2}) = \ln(\sqrt{5}) $$Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:$$ \frac{a}{2} = \sqrt{5} $$Отсюда находим $a$:$$ a = 2\sqrt{5} $$Проверим, что $2 < 2\sqrt{5} < 10$. Так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{25}$, то $2 < \sqrt{5} < 5$. Умножая на 2, получаем $4 < 2\sqrt{5} < 10$. Условие выполняется.

Ответ: $a = 2\sqrt{5}$

99. Вычислите интеграл:

1) $\int_{\pi}^{2\pi} \text{tg}^2 \frac{x}{6} \, dx$;

2) $\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} 2\cos^2 \frac{x}{10} \, dx$;

3) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin 4x \cos x \, dx$;

4) $\int_{-1}^{3} (x^2 - 3x)^2 \, dx$;

5) $\int_{-2}^{-1} \frac{x^4 - x^3 + 5}{x^6} \, dx$;

6) $\int_{\ln 3}^{\ln 6} (3 + e^{4x}) \, dx$;

7) $\int_{-2}^{0} \frac{16^x - 3 \cdot 2^x}{8^x} \, dx$;

8) $\int_{-3}^{-1} \frac{2x^4 + x^2 - 1}{x^3} \, dx$;

9) $\int_{1}^{3} \frac{e^x + x^4}{x^4 e^x} \, dx$.

1) Вычислим интеграл $\int_{\pi}^{2\pi} \text{tg}^2\frac{x}{6} dx$.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.

$\int_{\pi}^{2\pi} \text{tg}^2\frac{x}{6} dx = \int_{\pi}^{2\pi} \left(\frac{1}{\cos^2\frac{x}{6}} - 1\right) dx$.

Найдем первообразную, зная, что $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} dx = \frac{1}{k}\text{tg}(kx) + C$.

$\int \left(\frac{1}{\cos^2\frac{x}{6}} - 1\right) dx = 6\text{tg}\frac{x}{6} - x + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\left[6\text{tg}\frac{x}{6} - x\right]_{\pi}^{2\pi} = \left(6\text{tg}\frac{2\pi}{6} - 2\pi\right) - \left(6\text{tg}\frac{\pi}{6} - \pi\right) = \left(6\text{tg}\frac{\pi}{3} - 2\pi\right) - \left(6\text{tg}\frac{\pi}{6} - \pi\right)$

$= (6\sqrt{3} - 2\pi) - (6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \pi) = (6\sqrt{3} - 2\pi) - (2\sqrt{3} - \pi) = 6\sqrt{3} - 2\pi - 2\sqrt{3} + \pi = 4\sqrt{3} - \pi$.

Ответ: $4\sqrt{3} - \pi$.

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} 2\cos^2\frac{x}{10} dx$.

Используем формулу понижения степени: $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$.

$\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} 2\cos^2\frac{x}{10} dx = \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} \left(1 + \cos\frac{2x}{10}\right) dx = \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} \left(1 + \cos\frac{x}{5}\right) dx$.

Найдем первообразную: $\int \left(1 + \cos\frac{x}{5}\right) dx = x + 5\sin\frac{x}{5} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[x + 5\sin\frac{x}{5}\right]_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} = \left(\frac{5\pi}{2} + 5\sin\frac{5\pi/2}{5}\right) - \left(\frac{5\pi}{4} + 5\sin\frac{5\pi/4}{5}\right)$

$= \left(\frac{5\pi}{2} + 5\sin\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{5\pi}{4} + 5\sin\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{5\pi}{2} + 5 \cdot 1\right) - \left(\frac{5\pi}{4} + 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$= \frac{5\pi}{2} + 5 - \frac{5\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{10\pi - 5\pi}{4} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5\pi}{4} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin(4x)\cos(x) dx$.

Используем формулу преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin(4x)\cos(x) dx = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} (\sin(5x) + \sin(3x)) dx$.

Найдем первообразную: $\frac{1}{2}\int (\sin(5x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{1}{3}\cos(3x)\right) + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2}\left[-\frac{\cos(5x)}{5} - \frac{\cos(3x)}{3}\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} = \frac{1}{2}\left[\left(-\frac{\cos(5\pi)}{5} - \frac{\cos(3\pi)}{3}\right) - \left(-\frac{\cos(5\pi/6)}{5} - \frac{\cos(3\pi/6)}{3}\right)\right]$

$= \frac{1}{2}\left[\left(-\frac{-1}{5} - \frac{-1}{3}\right) - \left(-\frac{-\sqrt{3}/2}{5} - \frac{0}{3}\right)\right] = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\right) - \frac{\sqrt{3}}{10}\right]$

$= \frac{1}{2}\left[\frac{3+5}{15} - \frac{\sqrt{3}}{10}\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{8}{15} - \frac{\sqrt{3}}{10}\right) = \frac{4}{15} - \frac{\sqrt{3}}{20} = \frac{16 - 3\sqrt{3}}{60}$.

Ответ: $\frac{16 - 3\sqrt{3}}{60}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{3} (x^2 - 3x)^2 dx$.

Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $(x^2 - 3x)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2$.

$\int_{-1}^{3} (x^4 - 6x^3 + 9x^2) dx$.

Найдем первообразную, используя правило степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$\int (x^4 - 6x^3 + 9x^2) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{6x^4}{4} + \frac{9x^3}{3} + C = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{2} + 3x^3 + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{2} + 3x^3\right]_{-1}^{3} = \left(\frac{3^5}{5} - \frac{3 \cdot 3^4}{2} + 3 \cdot 3^3\right) - \left(\frac{(-1)^5}{5} - \frac{3(-1)^4}{2} + 3(-1)^3\right)$

$= \left(\frac{243}{5} - \frac{243}{2} + 81\right) - \left(-\frac{1}{5} - \frac{3}{2} - 3\right) = \left(\frac{486 - 1215 + 810}{10}\right) - \left(\frac{-2 - 15 - 30}{10}\right)$

$= \frac{81}{10} - \left(-\frac{47}{10}\right) = \frac{81 + 47}{10} = \frac{128}{10} = \frac{64}{5}$.

Ответ: $\frac{64}{5}$.

5) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{x^4 - x^3 + 5}{x^6} dx$.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{x^4 - x^3 + 5}{x^6} = \frac{x^4}{x^6} - \frac{x^3}{x^6} + \frac{5}{x^6} = x^{-2} - x^{-3} + 5x^{-6}$.

$\int_{-2}^{-1} (x^{-2} - x^{-3} + 5x^{-6}) dx$.

Найдем первообразную: $\int (x^{-2} - x^{-3} + 5x^{-6}) dx = \frac{x^{-1}}{-1} - \frac{x^{-2}}{-2} + \frac{5x^{-5}}{-5} + C = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^5} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[-\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^5}\right]_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{-1} + \frac{1}{2(-1)^2} - \frac{1}{(-1)^5}\right) - \left(-\frac{1}{-2} + \frac{1}{2(-2)^2} - \frac{1}{(-2)^5}\right)$

$= \left(1 + \frac{1}{2} - (-1)\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{8} - (-\frac{1}{32})\right) = \left(\frac{5}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32}\right)$

$= \frac{5}{2} - \left(\frac{16+4+1}{32}\right) = \frac{5}{2} - \frac{21}{32} = \frac{80-21}{32} = \frac{59}{32}$.

Ответ: $\frac{59}{32}$.

6) Вычислим интеграл $\int_{\ln 3}^{\ln 6} (3 + e^{4x}) dx$.

Найдем первообразную: $\int (3 + e^{4x}) dx = 3x + \frac{1}{4}e^{4x} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[3x + \frac{1}{4}e^{4x}\right]_{\ln 3}^{\ln 6} = \left(3\ln 6 + \frac{1}{4}e^{4\ln 6}\right) - \left(3\ln 3 + \frac{1}{4}e^{4\ln 3}\right)$.

Используем свойство $a\ln b = \ln b^a$ и $e^{\ln x} = x$:

$= \left(3\ln 6 + \frac{1}{4}e^{\ln(6^4)}\right) - \left(3\ln 3 + \frac{1}{4}e^{\ln(3^4)}\right) = \left(3\ln 6 + \frac{6^4}{4}\right) - \left(3\ln 3 + \frac{3^4}{4}\right)$

$= \left(3\ln 6 + \frac{1296}{4}\right) - \left(3\ln 3 + \frac{81}{4}\right) = (3\ln 6 + 324) - (3\ln 3 + \frac{81}{4})$

$= 3(\ln 6 - \ln 3) + 324 - \frac{81}{4} = 3\ln\frac{6}{3} + \frac{1296 - 81}{4} = 3\ln 2 + \frac{1215}{4}$.

Ответ: $3\ln 2 + \frac{1215}{4}$.

7) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{0} \frac{16^x - 3 \cdot 2^x}{8^x} dx$.

Упростим подынтегральное выражение, представив все степени с основанием 2:

$\frac{16^x - 3 \cdot 2^x}{8^x} = \frac{(2^4)^x - 3 \cdot 2^x}{(2^3)^x} = \frac{2^{4x} - 3 \cdot 2^x}{2^{3x}} = \frac{2^{4x}}{2^{3x}} - \frac{3 \cdot 2^x}{2^{3x}} = 2^x - 3 \cdot 2^{-2x}$.

$\int_{-2}^{0} (2^x - 3 \cdot 2^{-2x}) dx$.

Найдем первообразную, используя формулу $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$:

$\int (2^x - 3 \cdot 2^{-2x}) dx = \frac{2^x}{\ln 2} - 3 \cdot \frac{2^{-2x}}{-2\ln 2} + C = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^{-2x}}{2\ln 2} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^{-2x}}{2\ln 2}\right]_{-2}^{0} = \left(\frac{2^0}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^0}{2\ln 2}\right) - \left(\frac{2^{-2}}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^{-2(-2)}}{2\ln 2}\right)$

$= \left(\frac{1}{\ln 2} + \frac{3}{2\ln 2}\right) - \left(\frac{1/4}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^4}{2\ln 2}\right) = \left(\frac{2+3}{2\ln 2}\right) - \left(\frac{1}{4\ln 2} + \frac{48}{2\ln 2}\right)$

$= \frac{5}{2\ln 2} - \left(\frac{1}{4\ln 2} + \frac{96}{4\ln 2}\right) = \frac{10}{4\ln 2} - \frac{97}{4\ln 2} = -\frac{87}{4\ln 2}$.

Ответ: $-\frac{87}{4\ln 2}$.

8) Вычислим интеграл $\int_{-3}^{-1} \frac{2x^4 + x^2 - 1}{x^3} dx$.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{2x^4 + x^2 - 1}{x^3} = \frac{2x^4}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} - \frac{1}{x^3} = 2x + \frac{1}{x} - x^{-3}$.

$\int_{-3}^{-1} (2x + \frac{1}{x} - x^{-3}) dx$.

Найдем первообразную: $\int (2x + \frac{1}{x} - x^{-3}) dx = x^2 + \ln|x| - \frac{x^{-2}}{-2} + C = x^2 + \ln|x| + \frac{1}{2x^2} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[x^2 + \ln|x| + \frac{1}{2x^2}\right]_{-3}^{-1} = \left((-1)^2 + \ln|-1| + \frac{1}{2(-1)^2}\right) - \left((-3)^2 + \ln|-3| + \frac{1}{2(-3)^2}\right)$

$= \left(1 + 0 + \frac{1}{2}\right) - \left(9 + \ln 3 + \frac{1}{18}\right) = \frac{3}{2} - 9 - \ln 3 - \frac{1}{18}$

$= \frac{27 - 162 - 1}{18} - \ln 3 = -\frac{136}{18} - \ln 3 = -\frac{68}{9} - \ln 3$.

Ответ: $-\frac{68}{9} - \ln 3$.

9) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} \frac{e^x + x^4}{x^4 e^x} dx$.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{e^x + x^4}{x^4 e^x} = \frac{e^x}{x^4 e^x} + \frac{x^4}{x^4 e^x} = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{e^x} = x^{-4} + e^{-x}$.

$\int_{1}^{3} (x^{-4} + e^{-x}) dx$.

Найдем первообразную: $\int (x^{-4} + e^{-x}) dx = \frac{x^{-3}}{-3} + \frac{e^{-x}}{-1} + C = -\frac{1}{3x^3} - e^{-x} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[-\frac{1}{3x^3} - e^{-x}\right]_{1}^{3} = \left(-\frac{1}{3 \cdot 3^3} - e^{-3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3} - e^{-1}\right)$

$= \left(-\frac{1}{81} - \frac{1}{e^3}\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{81} - \frac{1}{e^3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{e}$

$= \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{81}\right) + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3} = \left(\frac{27 - 1}{81}\right) + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3} = \frac{26}{81} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3}$.

Ответ: $\frac{26}{81} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3}$.