Страница 88 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. На рисунке 12 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь рисунком, вычислите значение выражения $F(4) - F(-1)$, где функция $F$ — одна из первообразных функции $f$.

Рис. 12

По формуле Ньютона-Лейбница, разность значений первообразной $F(b) - F(a)$ для функции $f(x)$ равна определенному интегралу от этой функции в пределах от $a$ до $b$:

$F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В нашем случае $a = -1$ и $b = 4$, следовательно, нам нужно вычислить:

$F(4) - F(-1) = \int_{-1}^{4} f(x) \,dx$

Геометрический смысл определенного интеграла — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (Ox) и прямыми $x=a$ и $x=b$. Поскольку на промежутке $[-1, 4]$ график функции $f(x)$ находится выше оси Ox, искомое значение равно площади фигуры под графиком на этом промежутке.

Эту фигуру можно разбить на три более простые:

1. Трапеция на отрезке $[-1, 0]$.
2. Прямоугольник на отрезке $[0, 3]$.
3. Трапеция на отрезке $[3, 4]$.

Вычислим площадь каждой из этих фигур.

1. Площадь первой трапеции ($S_1$) на отрезке $[-1, 0]$.
Основания трапеции равны значениям функции на концах отрезка: $f(-1) = 3$ и $f(0) = 4$.
Высота трапеции равна длине отрезка: $h_1 = 0 - (-1) = 1$.
Площадь: $S_1 = \frac{f(-1) + f(0)}{2} \cdot h_1 = \frac{3 + 4}{2} \cdot 1 = \frac{7}{2} = 3.5$.

2. Площадь прямоугольника ($S_2$) на отрезке $[0, 3]$.
Длина прямоугольника равна длине отрезка: $l = 3 - 0 = 3$.
Высота прямоугольника постоянна и равна $h_2 = 4$.
Площадь: $S_2 = l \cdot h_2 = 3 \cdot 4 = 12$.

3. Площадь второй трапеции ($S_3$) на отрезке $[3, 4]$.
Основания трапеции равны: $f(3) = 4$ и $f(4) = 2$.
Высота трапеции равна: $h_3 = 4 - 3 = 1$.
Площадь: $S_3 = \frac{f(3) + f(4)}{2} \cdot h_3 = \frac{4 + 2}{2} \cdot 1 = \frac{6}{2} = 3$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих трех фигур:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 3.5 + 12 + 3 = 18.5$

Таким образом, $F(4) - F(-1) = 18.5$.

Ответ: 18.5

101. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите:

1) $\int_{-3}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx;$

2) $\int_{-4}^{-2} \sqrt{-4x - x^2} dx;$

3) $\int_{2}^{5} \sqrt{10x - 16 - x^2} dx.$

1) Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ заключается в площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. В данном случае, нам нужно вычислить интеграл $\int_{-3}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx$.
Подынтегральная функция $y = \sqrt{9 - x^2}$. Так как подкоренное выражение неотрицательно, то $y \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = 9 - x^2$
$x^2 + y^2 = 9$
$x^2 + y^2 = 3^2$
Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Поскольку мы изначально имели условие $y \ge 0$, график функции $y = \sqrt{9 - x^2}$ представляет собой верхнюю полуокружность.
Пределы интегрирования от $x=-3$ до $x=3$ соответствуют отрезку, на который опирается эта полуокружность. Таким образом, значение интеграла равно площади этой полуокружности.
Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Площадь полукруга равна половине площади круга:
$S = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{9\pi}{2}$

2) Вычислим интеграл $\int_{-4}^{-2} \sqrt{-4x - x^2} dx$.
Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{-4x - x^2}$ и преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:
$-4x - x^2 = -(x^2 + 4x) = -(x^2 + 4x + 4 - 4) = 4 - (x+2)^2$.
Тогда уравнение кривой принимает вид $y = \sqrt{4 - (x+2)^2}$.
При условии $y \ge 0$, возведем обе части в квадрат:
$y^2 = 4 - (x+2)^2$
$(x+2)^2 + y^2 = 4$
$(x+2)^2 + y^2 = 2^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом $R=2$. График функции $y = \sqrt{-4x - x^2}$ является верхней полуокружностью этой окружности.
Пределы интегрирования от $x=-4$ до $x=-2$. Заметим, что $x=-4$ это $x_{центра} - R$ (самая левая точка окружности), а $x=-2$ это абсцисса центра окружности. Следовательно, мы ищем площадь левой четверти этой окружности (или половины верхней полуокружности).
Площадь четверти круга радиуса $R=2$ равна:
$S = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \frac{4\pi}{4} = \pi$.
Ответ: $\pi$

3) Вычислим интеграл $\int_{2}^{5} \sqrt{10x - 16 - x^2} dx$.
Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{10x - 16 - x^2}$ и преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат:
$10x - 16 - x^2 = -(x^2 - 10x + 16) = -( (x^2 - 10x + 25) - 25 + 16) = -( (x-5)^2 - 9) = 9 - (x-5)^2$.
Уравнение кривой принимает вид $y = \sqrt{9 - (x-5)^2}$.
При условии $y \ge 0$, возведем обе части в квадрат:
$y^2 = 9 - (x-5)^2$
$(x-5)^2 + y^2 = 9$
$(x-5)^2 + y^2 = 3^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(5, 0)$ и радиусом $R=3$. График функции $y = \sqrt{10x - 16 - x^2}$ является верхней полуокружностью.
Пределы интегрирования от $x=2$ до $x=5$. Левый предел $x=2$ соответствует $x_{центра} - R = 5-3$, а правый предел $x=5$ является абсциссой центра окружности. Таким образом, интеграл равен площади левой четверти этой окружности.
Площадь четверти круга радиуса $R=3$ равна:
$S = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{9\pi}{4}$