Номер 101, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите:

1) $\int_{-3}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx;$

2) $\int_{-4}^{-2} \sqrt{-4x - x^2} dx;$

3) $\int_{2}^{5} \sqrt{10x - 16 - x^2} dx.$

1) Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ заключается в площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. В данном случае, нам нужно вычислить интеграл $\int_{-3}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx$.
Подынтегральная функция $y = \sqrt{9 - x^2}$. Так как подкоренное выражение неотрицательно, то $y \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = 9 - x^2$
$x^2 + y^2 = 9$
$x^2 + y^2 = 3^2$
Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Поскольку мы изначально имели условие $y \ge 0$, график функции $y = \sqrt{9 - x^2}$ представляет собой верхнюю полуокружность.
Пределы интегрирования от $x=-3$ до $x=3$ соответствуют отрезку, на который опирается эта полуокружность. Таким образом, значение интеграла равно площади этой полуокружности.
Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Площадь полукруга равна половине площади круга:
$S = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{9\pi}{2}$

2) Вычислим интеграл $\int_{-4}^{-2} \sqrt{-4x - x^2} dx$.
Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{-4x - x^2}$ и преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:
$-4x - x^2 = -(x^2 + 4x) = -(x^2 + 4x + 4 - 4) = 4 - (x+2)^2$.
Тогда уравнение кривой принимает вид $y = \sqrt{4 - (x+2)^2}$.
При условии $y \ge 0$, возведем обе части в квадрат:
$y^2 = 4 - (x+2)^2$
$(x+2)^2 + y^2 = 4$
$(x+2)^2 + y^2 = 2^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом $R=2$. График функции $y = \sqrt{-4x - x^2}$ является верхней полуокружностью этой окружности.
Пределы интегрирования от $x=-4$ до $x=-2$. Заметим, что $x=-4$ это $x_{центра} - R$ (самая левая точка окружности), а $x=-2$ это абсцисса центра окружности. Следовательно, мы ищем площадь левой четверти этой окружности (или половины верхней полуокружности).
Площадь четверти круга радиуса $R=2$ равна:
$S = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \frac{4\pi}{4} = \pi$.
Ответ: $\pi$

3) Вычислим интеграл $\int_{2}^{5} \sqrt{10x - 16 - x^2} dx$.
Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{10x - 16 - x^2}$ и преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат:
$10x - 16 - x^2 = -(x^2 - 10x + 16) = -( (x^2 - 10x + 25) - 25 + 16) = -( (x-5)^2 - 9) = 9 - (x-5)^2$.
Уравнение кривой принимает вид $y = \sqrt{9 - (x-5)^2}$.
При условии $y \ge 0$, возведем обе части в квадрат:
$y^2 = 9 - (x-5)^2$
$(x-5)^2 + y^2 = 9$
$(x-5)^2 + y^2 = 3^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(5, 0)$ и радиусом $R=3$. График функции $y = \sqrt{10x - 16 - x^2}$ является верхней полуокружностью.
Пределы интегрирования от $x=2$ до $x=5$. Левый предел $x=2$ соответствует $x_{центра} - R = 5-3$, а правый предел $x=5$ является абсциссой центра окружности. Таким образом, интеграл равен площади левой четверти этой окружности.
Площадь четверти круга радиуса $R=3$ равна:
$S = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{9\pi}{4}$