Номер 108, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Докажите, что для любого натурального $n$ значение выражения:

1) $15^n + 20 \cdot 8^n$ кратно 7;

2) $7^n + 3n - 1$ кратно 9.

1) $15^n + 20 \cdot 8^n$ кратно 7;
Докажем данное утверждение методом математической индукции для всех натуральных $n$.
Пусть $A(n) = 15^n + 20 \cdot 8^n$.
База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$A(1) = 15^1 + 20 \cdot 8^1 = 15 + 160 = 175$.
Поскольку $175 = 7 \cdot 25$, число $175$ кратно 7. Утверждение верно для $n=1$.
Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $A(k) = 15^k + 20 \cdot 8^k$ кратно 7.
Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = 15^{k+1} + 20 \cdot 8^{k+1}$ также кратно 7.
Рассмотрим $A(k+1)$:
$A(k+1) = 15^{k+1} + 20 \cdot 8^{k+1} = 15 \cdot 15^k + 8 \cdot 20 \cdot 8^k$
Преобразуем выражение, выделив $A(k)$:
$A(k+1) = (8+7) \cdot 15^k + 8 \cdot 20 \cdot 8^k = 8 \cdot 15^k + 7 \cdot 15^k + 8 \cdot 20 \cdot 8^k$
$A(k+1) = 8 \cdot (15^k + 20 \cdot 8^k) + 7 \cdot 15^k$
$A(k+1) = 8 \cdot A(k) + 7 \cdot 15^k$
Первое слагаемое $8 \cdot A(k)$ кратно 7, так как по предположению индукции $A(k)$ кратно 7. Второе слагаемое $7 \cdot 15^k$ кратно 7, так как содержит множитель 7. Сумма двух чисел, кратных 7, также кратна 7. Следовательно, $A(k+1)$ кратно 7.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

2) $7^n + 3n - 1$ кратно 9.
Докажем данное утверждение методом математической индукции для всех натуральных $n$.
Пусть $B(n) = 7^n + 3n - 1$.
База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$B(1) = 7^1 + 3 \cdot 1 - 1 = 7 + 3 - 1 = 9$.
Число $9$ кратно 9. Утверждение верно для $n=1$.
Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $B(k) = 7^k + 3k - 1$ кратно 9.
Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $B(k+1) = 7^{k+1} + 3(k+1) - 1$ также кратно 9.
Рассмотрим $B(k+1)$:
$B(k+1) = 7^{k+1} + 3(k+1) - 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 3 - 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 2$
Из предположения индукции выразим $7^k = B(k) - 3k + 1$ и подставим в выражение для $B(k+1)$:
$B(k+1) = 7 \cdot (B(k) - 3k + 1) + 3k + 2$
$B(k+1) = 7 \cdot B(k) - 21k + 7 + 3k + 2$
$B(k+1) = 7 \cdot B(k) - 18k + 9$
$B(k+1) = 7 \cdot B(k) - 9(2k - 1)$
Первое слагаемое $7 \cdot B(k)$ кратно 9, так как по предположению индукции $B(k)$ кратно 9. Второе слагаемое $-9(2k - 1)$ кратно 9, так как содержит множитель 9. Разность двух чисел, кратных 9, также кратна 9. Следовательно, $B(k+1)$ кратно 9.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.