Номер 115, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Сколько существует пятизначных чисел, кратных 10, в записи которых каждая из цифр 0, 1, 2, 4, 5 используется по одному разу?

Для того чтобы число было пятизначным, на первом месте не должен стоять ноль. Для того чтобы число было кратным 10, оно должно оканчиваться на ноль.

У нас есть набор цифр {0, 1, 2, 4, 5}, и мы должны составить из них пятизначное число, используя каждую цифру ровно один раз.

Рассмотрим 5 позиций для цифр в числе: _ _ _ _ _

1. Последняя цифра:
   Поскольку число должно быть кратным 10, последняя цифра (цифра в разряде единиц) должна быть 0. Таким образом, на пятой позиции может быть только одна цифра — 0.
   _ _ _ _ 0
2. Остальные цифры:
   Мы использовали цифру 0. Для оставшихся четырех позиций у нас остались цифры {1, 2, 4, 5}.
3. Первая цифра:
   На первую позицию (разряд десятков тысяч) мы можем поставить любую из оставшихся четырех цифр {1, 2, 4, 5}. Так как 0 уже занят, условие, что первая цифра не может быть нулем, выполняется автоматически. Итак, у нас есть 4 варианта для первой цифры.
4. Вторая цифра:
   После выбора первой цифры, у нас останется 3 цифры. Значит, для второй позиции есть 3 варианта.
5. Третья цифра:
   Останется 2 цифры, следовательно, 2 варианта для третьей позиции.
6. Четвертая цифра:
   Останется последняя 1 цифра, то есть 1 вариант для четвертой позиции.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это эквивалентно нахождению числа перестановок для четырех оставшихся цифр {1, 2, 4, 5}.

Число перестановок из 4 элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=4$.

Количество способов = $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, существует 24 различных пятизначных числа, которые можно составить из данных цифр, и которые будут кратны 10.

Ответ: 24