Номер 110, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{P_8 - P_7}{7P_6} $;

2) $ \frac{A_{11}^4}{A_{11}^3 + A_{10}^4} $;

3) $ \frac{A_{11}^3 \cdot P_9}{A_{10}^8} $.

1) Найдём значение выражения $\frac{P_8 - P_7}{7P_6}$.

Для решения воспользуемся формулой числа перестановок $P_n = n!$.

Сначала преобразуем числитель дроби. Вынесем общий множитель $7!$ за скобки:

$P_8 - P_7 = 8! - 7! = 8 \cdot 7! - 1 \cdot 7! = (8-1) \cdot 7! = 7 \cdot 7!$.

Знаменатель дроби равен $7P_6 = 7 \cdot 6!$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{7 \cdot 7!}{7 \cdot 6!} = \frac{7!}{6!} = \frac{7 \cdot 6!}{6!} = 7$.

Ответ: 7.

2) Найдём значение выражения $\frac{A_{11}^4}{A_{11}^3 + A_{10}^4}$.

Воспользуемся формулой для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Вычислим значения для каждого члена выражения:

$A_{11}^4 = \frac{11!}{(11-4)!} = \frac{11!}{7!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 7920$.

$A_{11}^3 = \frac{11!}{(11-3)!} = \frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$.

$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$\frac{A_{11}^4}{A_{11}^3 + A_{10}^4} = \frac{7920}{990 + 5040} = \frac{7920}{6030}$.

Сократим полученную дробь. Сначала сократим на 10:

$\frac{792}{603}$.

Сумма цифр числителя $7+9+2=18$, и сумма цифр знаменателя $6+0+3=9$. Обе суммы делятся на 9, значит, и сами числа делятся на 9.

$792 \div 9 = 88$

$603 \div 9 = 67$

Таким образом, получаем дробь $\frac{88}{67}$. Так как 67 — простое число, дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $\frac{88}{67}$.

3) Найдём значение выражения $\frac{A_{11}^3 \cdot P_9}{A_{10}^8}$.

Используем формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.

Представим каждый член выражения через факториалы:

$A_{11}^3 = \frac{11!}{(11-3)!} = \frac{11!}{8!}$.

$P_9 = 9!$.

$A_{10}^8 = \frac{10!}{(10-8)!} = \frac{10!}{2!}$.

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{A_{11}^3 \cdot P_9}{A_{10}^8} = \frac{\frac{11!}{8!} \cdot 9!}{\frac{10!}{2!}} = \frac{11! \cdot 9! \cdot 2!}{8! \cdot 10!}$.

Теперь упростим выражение, сократив факториалы:

$\frac{(11 \cdot 10!) \cdot (9 \cdot 8!) \cdot 2!}{8! \cdot 10!}$.

После сокращения $10!$ и $8!$ в числителе и знаменателе, получим:

$11 \cdot 9 \cdot 2! = 11 \cdot 9 \cdot 2 = 198$.

Ответ: 198.