Номер 105, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство:

1) $1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + 3 \cdot 19 + \ldots + n(6n + 1) = \frac{n(n + 1)(4n + 3)}{2};$

2) $1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \ldots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{3^n(2n - 1) + 1}{4};$

3) $\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 16} + \ldots + \frac{1}{(5n - 4)(5n + 1)} = \frac{n}{5n + 1}.$

Докажем данное равенство $1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + 3 \cdot 19 + \dots + n(6n+1) = \frac{n(n+1)(4n+3)}{2}$ методом математической индукции.

База индукции:
Проверим равенство для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (6 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 7 = 7$.
Правая часть: $\frac{1(1+1)(4 \cdot 1 + 3)}{2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 7}{2} = 7$.
Поскольку $7 = 7$, равенство верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:
$1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + \dots + k(6k+1) = \frac{k(k+1)(4k+3)}{2}$.
Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$. Мы должны доказать, что:
$1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + \dots + (k+1)(6(k+1)+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)(4(k+1)+3)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+7)}{2}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$(1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + \dots + k(6k+1)) + (k+1)(6(k+1)+1)$.
Используя предположение индукции для суммы в скобках, получаем:
$\frac{k(k+1)(4k+3)}{2} + (k+1)(6k+7)$.
Вынесем общий множитель $\frac{k+1}{2}$ за скобки:
$\frac{k+1}{2} [k(4k+3) + 2(6k+7)] = \frac{k+1}{2} [4k^2 + 3k + 12k + 14] = \frac{k+1}{2} (4k^2 + 15k + 14)$.
Разложим квадратный трехчлен $4k^2 + 15k + 14$ на множители. Корни уравнения $4k^2 + 15k + 14 = 0$ равны $k_1=-2$ и $k_2=-7/4$. Тогда $4k^2 + 15k + 14 = 4(k - (-2))(k - (-7/4)) = (k+2)(4k+7)$.
Подставим разложение в наше выражение:
$\frac{(k+1)(k+2)(4k+7)}{2}$.
Это совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем данное равенство $1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{3^n(2n-1)+1}{4}$ методом математической индукции.

База индукции:
Проверим равенство для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot 3^{1-1} = 1 \cdot 3^0 = 1$.
Правая часть: $\frac{3^1(2 \cdot 1 - 1) + 1}{4} = \frac{3 \cdot 1 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Поскольку $1=1$, равенство верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:
$1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + k \cdot 3^{k-1} = \frac{3^k(2k-1)+1}{4}$.
Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$. Мы должны доказать, что:
$1 + 2 \cdot 3 + \dots + (k+1) \cdot 3^k = \frac{3^{k+1}(2(k+1)-1)+1}{4} = \frac{3^{k+1}(2k+1)+1}{4}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$(1 + 2 \cdot 3 + \dots + k \cdot 3^{k-1}) + (k+1) \cdot 3^k$.
Используя предположение индукции для суммы в скобках, получаем:
$\frac{3^k(2k-1)+1}{4} + (k+1) \cdot 3^k = \frac{3^k(2k-1)+1 + 4(k+1) \cdot 3^k}{4}$.
Сгруппируем слагаемые с $3^k$:
$\frac{3^k(2k-1 + 4(k+1)) + 1}{4} = \frac{3^k(2k-1+4k+4) + 1}{4} = \frac{3^k(6k+3) + 1}{4}$.
Вынесем 3 за скобки в выражении $(6k+3)$:
$\frac{3^k \cdot 3(2k+1) + 1}{4} = \frac{3^{k+1}(2k+1) + 1}{4}$.
Это совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем данное равенство $\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(5n-4)(5n+1)} = \frac{n}{5n+1}$ методом математической индукции.

База индукции:
Проверим равенство для $n=1$.
Левая часть: $\frac{1}{(5 \cdot 1 - 4)(5 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 6} = \frac{1}{6}$.
Правая часть: $\frac{1}{5 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{6}$.
Поскольку $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$, равенство верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:
$\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(5k-4)(5k+1)} = \frac{k}{5k+1}$.
Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$. Мы должны доказать, что:
$\frac{1}{1 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{(5(k+1)-4)(5(k+1)+1)} = \frac{k+1}{5(k+1)+1} = \frac{k+1}{5k+6}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$(\frac{1}{1 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{(5k-4)(5k+1)}) + \frac{1}{(5(k+1)-4)(5(k+1)+1)}$.
Используя предположение индукции для суммы в скобках, получаем:
$\frac{k}{5k+1} + \frac{1}{(5k+1)(5k+6)}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{k(5k+6) + 1}{(5k+1)(5k+6)} = \frac{5k^2+6k+1}{(5k+1)(5k+6)}$.
Разложим числитель $5k^2+6k+1$ на множители. Корни уравнения $5k^2+6k+1=0$ равны $k_1=-1$ и $k_2=-1/5$. Следовательно, $5k^2+6k+1 = 5(k+1)(k+1/5) = (k+1)(5k+1)$.
Подставим разложение в наше выражение:
$\frac{(k+1)(5k+1)}{(5k+1)(5k+6)}$.
Сократим дробь на $(5k+1)$:
$\frac{k+1}{5k+6}$.
Это совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.