Номер 100, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. На рисунке 12 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь рисунком, вычислите значение выражения $F(4) - F(-1)$, где функция $F$ — одна из первообразных функции $f$.

Рис. 12

По формуле Ньютона-Лейбница, разность значений первообразной $F(b) - F(a)$ для функции $f(x)$ равна определенному интегралу от этой функции в пределах от $a$ до $b$:

$F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В нашем случае $a = -1$ и $b = 4$, следовательно, нам нужно вычислить:

$F(4) - F(-1) = \int_{-1}^{4} f(x) \,dx$

Геометрический смысл определенного интеграла — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (Ox) и прямыми $x=a$ и $x=b$. Поскольку на промежутке $[-1, 4]$ график функции $f(x)$ находится выше оси Ox, искомое значение равно площади фигуры под графиком на этом промежутке.

Эту фигуру можно разбить на три более простые:

1. Трапеция на отрезке $[-1, 0]$.
2. Прямоугольник на отрезке $[0, 3]$.
3. Трапеция на отрезке $[3, 4]$.

Вычислим площадь каждой из этих фигур.

1. Площадь первой трапеции ($S_1$) на отрезке $[-1, 0]$.
Основания трапеции равны значениям функции на концах отрезка: $f(-1) = 3$ и $f(0) = 4$.
Высота трапеции равна длине отрезка: $h_1 = 0 - (-1) = 1$.
Площадь: $S_1 = \frac{f(-1) + f(0)}{2} \cdot h_1 = \frac{3 + 4}{2} \cdot 1 = \frac{7}{2} = 3.5$.

2. Площадь прямоугольника ($S_2$) на отрезке $[0, 3]$.
Длина прямоугольника равна длине отрезка: $l = 3 - 0 = 3$.
Высота прямоугольника постоянна и равна $h_2 = 4$.
Площадь: $S_2 = l \cdot h_2 = 3 \cdot 4 = 12$.

3. Площадь второй трапеции ($S_3$) на отрезке $[3, 4]$.
Основания трапеции равны: $f(3) = 4$ и $f(4) = 2$.
Высота трапеции равна: $h_3 = 4 - 3 = 1$.
Площадь: $S_3 = \frac{f(3) + f(4)}{2} \cdot h_3 = \frac{4 + 2}{2} \cdot 1 = \frac{6}{2} = 3$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих трех фигур:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 3.5 + 12 + 3 = 18.5$

Таким образом, $F(4) - F(-1) = 18.5$.

Ответ: 18.5