gdz.top
Номер 97, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 3. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл - номер 97, страница 87.
№96
№97 (с. 87)
Условие. №97 (с. 87)
97. Найдите, при каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 9x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a - 3$, будет принимать наименьшее значение.
Решение. №97 (с. 87)
Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 9x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = a - 3$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Поскольку $a-3 < a$ и функция $y = 9x^2 \ge 0$ на любом интервале, площадь $S$ является функцией от $a$ и равна:
$S(a) = \int_{a-3}^{a} 9x^2 \,dx$
Найдем первообразную для функции $f(x) = 9x^2$:
$F(x) = \int 9x^2 \,dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S(a) = F(a) - F(a-3) = 3a^3 - 3(a-3)^3$
Раскроем скобки и упростим выражение для площади:
$S(a) = 3a^3 - 3(a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3) = 3a^3 - 3(a^3 - 9a^2 + 27a - 27)$
$S(a) = 3a^3 - 3a^3 + 27a^2 - 81a + 81 = 27a^2 - 81a + 81$
Мы получили функцию площади $S(a) = 27a^2 - 81a + 81$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $a^2$ положителен: $27 > 0$). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.
Координату вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае переменная — $a$, $A=27$, $B=-81$.
$a = -\frac{-81}{2 \cdot 27} = \frac{81}{54} = \frac{3 \cdot 27}{2 \cdot 27} = \frac{3}{2} = 1.5$
Таким образом, площадь фигуры принимает наименьшее значение при $a = 1.5$.
Ответ: $1.5$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 97 расположенного на странице 87 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №97 (с. 87), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.