Номер 92, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

92. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 11.

Рис. 11

a

$y = 13 - 4x$

$y = \frac{9}{x^2}$

б

$y = \frac{4}{x^2}$

$y = -0.5x$

в

$y = 3x^2 - x^3$

$y = 3 - x$

г

$y = 2 - \sin x$

$y = \sin x$

а)

Площадь заштрихованной фигуры ограничена сверху графиком функции $y = 13 - 4x$, снизу — графиком функции $y = \frac{9}{x^2}$, и по бокам — прямыми $x=1$ и $x=3$.

Для вычисления площади воспользуемся формулой определенного интеграла: $S = \int_a^b (f(x) - g(x))dx$, где $f(x)$ — верхняя граница, а $g(x)$ — нижняя.

$S = \int_1^3 \left( (13 - 4x) - \frac{9}{x^2} \right) dx = \int_1^3 \left( 13 - 4x - 9x^{-2} \right) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = 13x - 4\frac{x^2}{2} - 9\frac{x^{-1}}{-1} = 13x - 2x^2 + \frac{9}{x}$

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(3) - F(1) = \left( 13 \cdot 3 - 2 \cdot 3^2 + \frac{9}{3} \right) - \left( 13 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 + \frac{9}{1} \right)$

$S = (39 - 18 + 3) - (13 - 2 + 9) = 24 - 20 = 4$

Ответ: 4

б)

Фигура ограничена сверху графиком $y = \frac{4}{x^2}$, снизу — графиком $y = -0,5x$, и по бокам — прямыми $x=-2$ и $x=-1$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^{-1} \left( \frac{4}{x^2} - (-0,5x) \right) dx = \int_{-2}^{-1} \left( 4x^{-2} + 0,5x \right) dx$

Первообразная:

$F(x) = 4\frac{x^{-1}}{-1} + 0,5\frac{x^2}{2} = -\frac{4}{x} + \frac{x^2}{4}$

Вычисление:

$S = F(-1) - F(-2) = \left( -\frac{4}{-1} + \frac{(-1)^2}{4} \right) - \left( -\frac{4}{-2} + \frac{(-2)^2}{4} \right)$

$S = \left( 4 + \frac{1}{4} \right) - \left( 2 + \frac{4}{4} \right) = 4,25 - (2 + 1) = 4,25 - 3 = 1,25$

Ответ: 1,25

в)

Фигура ограничена графиками функций $y = 3x^2 - x^3$ и $y = 3-x$.

Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $3x^2 - x^3 = 3-x$:

$x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$

$x^2(x-3) - (x-3) = 0$

$(x^2-1)(x-3) = 0$

$(x-1)(x+1)(x-3) = 0$

Корни: $x=-1, x=1, x=3$. Из графика видно, что заштрихованная область находится в пределах от $x=1$ до $x=3$.

На интервале $(1, 3)$ график $y = 3x^2 - x^3$ находится выше графика $y = 3-x$.

$S = \int_1^3 \left( (3x^2 - x^3) - (3 - x) \right) dx = \int_1^3 (-x^3 + 3x^2 + x - 3) dx$

Первообразная:

$F(x) = -\frac{x^4}{4} + 3\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 3x = -\frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{x^2}{2} - 3x$

Вычисление:

$S = F(3) - F(1) = \left( -\frac{3^4}{4} + 3^3 + \frac{3^2}{2} - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^4}{4} + 1^3 + \frac{1^2}{2} - 3 \cdot 1 \right)$

$S = \left( -\frac{81}{4} + 27 + \frac{9}{2} - 9 \right) - \left( -\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 \right) = \left( 18 - \frac{81}{4} + \frac{18}{4} \right) - \left( -2 - \frac{1}{4} + \frac{2}{4} \right)$

$S = \left( \frac{72-81+18}{4} \right) - \left( \frac{-8-1+2}{4} \right) = \frac{9}{4} - \left( -\frac{7}{4} \right) = \frac{9+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Ответ: 4

г)

Фигура ограничена графиками $y = 2 - \sin x$, $y = \sin x$ и осью $y$ ($x=0$).

Найдем правый предел интегрирования, приравняв функции:

$2 - \sin x = \sin x \implies 2 = 2\sin x \implies \sin x = 1$

Отсюда $x = \frac{\pi}{2}$. Левый предел $x=0$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ график $y = 2 - \sin x$ находится выше графика $y = \sin x$.

$S = \int_0^{\pi/2} \left( (2 - \sin x) - \sin x \right) dx = \int_0^{\pi/2} (2 - 2\sin x) dx$

Первообразная:

$F(x) = 2x - 2(-\cos x) = 2x + 2\cos x$

Вычисление:

$S = F(\frac{\pi}{2}) - F(0) = \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 2\cos\frac{\pi}{2} \right) - (2 \cdot 0 + 2\cos 0)$

$S = (\pi + 2 \cdot 0) - (0 + 2 \cdot 1) = \pi - 2$

Ответ: $\pi - 2$