Номер 85, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Найдите общий вид первообразных функции f на промежутке I:

1) $f(x) = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{6}$, $I = (-3\pi; 3\pi)$;

2) $f(x) = \frac{4x^6 - x^4 + 3}{x^3}$, $I = (0; +\infty)$.

1) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \text{tg}^2 \frac{x}{6}$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Обозначим искомую первообразную как $F(x)$.

$F(x) = \int \text{tg}^2 \frac{x}{6} dx$.

Для вычисления этого интеграла воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. Отсюда $\text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$.

Применив это тождество к нашей функции, получаем:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{6}} - 1$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{6}} - 1\right) dx = \int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{6}} - \int 1 dx$.

Найдем каждый интеграл по отдельности. Интеграл от $\frac{1}{\cos^2 kx}$ является табличным: $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\text{tg}(kx) + C$.

В нашем случае $k = \frac{1}{6}$, следовательно:

$\int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{6}} = \frac{1}{1/6} \text{tg} \frac{x}{6} = 6 \text{tg} \frac{x}{6}$.

Второй интеграл: $\int 1 dx = x$.

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = 6 \text{tg} \frac{x}{6} - x + C$.

Функция $\text{tg} \frac{x}{6}$ определена, когда $\cos \frac{x}{6} \neq 0$, то есть $\frac{x}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x \neq 3\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На заданном интервале $I = (-3\pi; 3\pi)$ функция непрерывна, так как точки разрыва $x = -3\pi$ и $x = 3\pi$ не входят в этот интервал.

Ответ: $F(x) = 6 \text{tg} \frac{x}{6} - x + C$.

2) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{4x^6 - x^4 + 3}{x^3}$, сначала упростим выражение, разделив почленно числитель на знаменатель.

$f(x) = \frac{4x^6}{x^3} - \frac{x^4}{x^3} + \frac{3}{x^3} = 4x^3 - x + 3x^{-3}$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, проинтегрировав полученную функцию. Используем правило для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (4x^3 - x + 3x^{-3}) dx = \int 4x^3 dx - \int x dx + \int 3x^{-3} dx$.

Вычислим каждый интеграл:

$\int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.

$\int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

$\int 3x^{-3} dx = 3 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = 3 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{3}{2}x^{-2} = -\frac{3}{2x^2}$.

Теперь соберем все части вместе и добавим произвольную постоянную $C$, чтобы получить общий вид первообразной:

$F(x) = x^4 - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2x^2} + C$.

Данная функция определена для всех $x \neq 0$, что включает в себя заданный интервал $I = (0; +\infty)$.

Ответ: $F(x) = x^4 - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2x^2} + C$.