Номер 88, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-2}^{4} (x - 7)dx;$

2) $\int_{-1}^{0} (x^2 + 4x)dx;$

3) $\int_{-10}^{4} (x + 6)^2 dx;$

4) $\int_{-2.5}^{-2} (2x + 6)^6 dx;$

5) $\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{16dx}{(3x + 2)^5};$

6) $\int_{4}^{16} \left(\frac{8}{\sqrt{x}} + 1\right) dx;$

7) $\int_{1}^{7} \frac{dx}{\sqrt{10x - 6}};$

8) $\int_{-30}^{6} \frac{dx}{\sqrt{6 - \frac{x}{3}}};$

9) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

10) $\int_{\pi}^{2\pi} \sin \frac{x}{6} dx;$

11) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\cos^2 x};$

12) $\int_{\frac{\pi}{16}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\sin^2 4x};$

13) $\int_{25}^{36} \sqrt{x} dx;$

14) $\int_{1}^{64} \sqrt[6]{x} dx;$

15) $\int_{-8}^{7} \sqrt{8 - x} dx;$

16) $\int_{\frac{\pi}{15}}^{\frac{\pi}{5}} \cos \left(5x - \frac{\pi}{6}\right) dx;$

17) $\int_{\ln 7}^{\ln 12} e^x dx;$

18) $\int_{2}^{4} 3^x dx;$

19) $\int_{-12}^{0} e^{-\frac{x}{6}} dx;$

20) $\int_{4}^{64} \frac{dx}{x};$

21) $\int_{e^3}^{e^8} \frac{5}{x} dx;$

22) $\int_{3}^{9} \left(x^2 - \frac{2}{x}\right) dx;$

23) $\int_{2}^{8} \frac{dx}{3x - 4};$

24) $\int_{-1}^{2} \frac{dx}{2x - 7};$

1) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{4} (x - 7)dx$ найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x - 7$. Первообразная есть $F(x) = \frac{x^2}{2} - 7x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$. $\int_{-2}^{4} (x - 7)dx = (\frac{4^2}{2} - 7 \cdot 4) - (\frac{(-2)^2}{2} - 7 \cdot (-2)) = (\frac{16}{2} - 28) - (\frac{4}{2} + 14) = (8 - 28) - (2 + 14) = -20 - 16 = -36$. Ответ: $-36$.

2) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} (x^2 + 4x)dx$. Первообразная для $f(x) = x^2 + 4x$ есть $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} = \frac{x^3}{3} + 2x^2$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-1}^{0} (x^2 + 4x)dx = (\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2) - (\frac{(-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1)^2) = 0 - (-\frac{1}{3} + 2) = -(\frac{5}{3}) = -\frac{5}{3}$. Ответ: $-\frac{5}{3}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{-10}^{4} (x + 6)^2 dx$. Первообразная для $f(x) = (x + 6)^2$ есть $F(x) = \frac{(x+6)^3}{3}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-10}^{4} (x + 6)^2 dx = \frac{(4+6)^3}{3} - \frac{(-10+6)^3}{3} = \frac{10^3}{3} - \frac{(-4)^3}{3} = \frac{1000}{3} - \frac{-64}{3} = \frac{1000 + 64}{3} = \frac{1064}{3}$. Ответ: $\frac{1064}{3}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-2.5}^{-2} (2x + 6)^6 dx$. Первообразная для $f(x) = (2x + 6)^6$ находится с помощью замены $u=2x+6$. Она равна $F(x) = \frac{(2x+6)^7}{7 \cdot 2} = \frac{(2x+6)^7}{14}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-2.5}^{-2} (2x + 6)^6 dx = \frac{(2(-2)+6)^7}{14} - \frac{(2(-2.5)+6)^7}{14} = \frac{(-4+6)^7}{14} - \frac{(-5+6)^7}{14} = \frac{2^7}{14} - \frac{1^7}{14} = \frac{128}{14} - \frac{1}{14} = \frac{127}{14}$. Ответ: $\frac{127}{14}$.

5) Вычислим интеграл $\int_{1/3}^{2/3} \frac{16}{(3x + 2)^5} dx = 16 \int_{1/3}^{2/3} (3x + 2)^{-5} dx$. Первообразная для $f(x) = (3x + 2)^{-5}$ есть $F(x) = \frac{(3x+2)^{-4}}{-4 \cdot 3} = -\frac{1}{12(3x+2)^4}$. Интеграл равен: $16 \left[-\frac{1}{12(3x+2)^4}\right]_{1/3}^{2/3} = -\frac{16}{12} \left[\frac{1}{(3x+2)^4}\right]_{1/3}^{2/3} = -\frac{4}{3} \left(\frac{1}{(3(2/3)+2)^4} - \frac{1}{(3(1/3)+2)^4}\right) = -\frac{4}{3} \left(\frac{1}{(2+2)^4} - \frac{1}{(1+2)^4}\right) = -\frac{4}{3} \left(\frac{1}{4^4} - \frac{1}{3^4}\right) = -\frac{4}{3} \left(\frac{1}{256} - \frac{1}{81}\right) = -\frac{4}{3} \left(\frac{81 - 256}{256 \cdot 81}\right) = -\frac{4}{3} \frac{-175}{20736} = \frac{4 \cdot 175}{3 \cdot 20736} = \frac{700}{62208} = \frac{175}{15552}$. Ответ: $\frac{175}{15552}$.

6) Вычислим интеграл $\int_{4}^{16} (\frac{8}{\sqrt{x}} + 1) dx = \int_{4}^{16} (8x^{-1/2} + 1) dx$. Первообразная есть $F(x) = 8\frac{x^{1/2}}{1/2} + x = 16\sqrt{x} + x$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{4}^{16} (\frac{8}{\sqrt{x}} + 1) dx = (16\sqrt{16} + 16) - (16\sqrt{4} + 4) = (16 \cdot 4 + 16) - (16 \cdot 2 + 4) = (64 + 16) - (32 + 4) = 80 - 36 = 44$. Ответ: $44$.

7) Вычислим интеграл $\int_{1}^{7} \frac{dx}{\sqrt{10x-6}} = \int_{1}^{7} (10x-6)^{-1/2} dx$. Первообразная есть $F(x) = \frac{(10x-6)^{1/2}}{1/2 \cdot 10} = \frac{\sqrt{10x-6}}{5}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{1}^{7} \frac{dx}{\sqrt{10x-6}} = \frac{\sqrt{10 \cdot 7 - 6}}{5} - \frac{\sqrt{10 \cdot 1 - 6}}{5} = \frac{\sqrt{64}}{5} - \frac{\sqrt{4}}{5} = \frac{8}{5} - \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$. Ответ: $\frac{6}{5}$.

8) Вычислим интеграл $\int_{-30}^{6} \frac{dx}{\sqrt{6-\frac{x}{3}}} = \int_{-30}^{6} (6-\frac{1}{3}x)^{-1/2} dx$. Первообразная есть $F(x) = \frac{(6-\frac{1}{3}x)^{1/2}}{1/2 \cdot (-1/3)} = -6\sqrt{6-\frac{x}{3}}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-30}^{6} \frac{dx}{\sqrt{6-\frac{x}{3}}} = (-6\sqrt{6-\frac{6}{3}}) - (-6\sqrt{6-\frac{-30}{3}}) = -6\sqrt{4} - (-6\sqrt{6+10}) = -6 \cdot 2 - (-6\sqrt{16}) = -12 - (-6 \cdot 4) = -12 + 24 = 12$. Ответ: $12$.

9) Вычислим интеграл $\int_{-\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx$. Первообразная для $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{4}) = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

10) Вычислим интеграл $\int_{\pi}^{2\pi} \sin \frac{x}{6} dx$. Первообразная для $f(x) = \sin(\frac{x}{6})$ есть $F(x) = \frac{-\cos(\frac{x}{6})}{1/6} = -6\cos(\frac{x}{6})$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{\pi}^{2\pi} \sin \frac{x}{6} dx = -6\cos(\frac{2\pi}{6}) - (-6\cos(\frac{\pi}{6})) = -6\cos(\frac{\pi}{3}) + 6\cos(\frac{\pi}{6}) = -6 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -3 + 3\sqrt{3} = 3(\sqrt{3}-1)$. Ответ: $3(\sqrt{3}-1)$.

11) Вычислим интеграл $\int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{dx}{\cos^2 x}$. Данный интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ не определена в точке $x = \frac{\pi}{2}$ (имеет разрыв второго рода). По определению несобственного интеграла: $\int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{dx}{\cos^2 x} = \lim_{b \to \frac{\pi}{2}-} \int_{\pi/6}^{b} \frac{dx}{\cos^2 x} = \lim_{b \to \frac{\pi}{2}-} [\tan x]_{\pi/6}^{b} = \lim_{b \to \frac{\pi}{2}-} (\tan(b) - \tan(\frac{\pi}{6}))$. Поскольку $\lim_{b \to \frac{\pi}{2}-} \tan(b) = +\infty$, а $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (конечное число), предел равен $+\infty$. Следовательно, интеграл расходится. Ответ: интеграл расходится.

12) Вычислим интеграл $\int_{\pi/16}^{\pi/12} \frac{dx}{\sin^2 4x}$. Первообразная для $f(x) = \frac{1}{\sin^2 4x}$ есть $F(x) = \frac{-\cot(4x)}{4}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{\pi/16}^{\pi/12} \frac{dx}{\sin^2 4x} = [-\frac{\cot(4x)}{4}]_{\pi/16}^{\pi/12} = (-\frac{\cot(4 \cdot \frac{\pi}{12})}{4}) - (-\frac{\cot(4 \cdot \frac{\pi}{16})}{4}) = -\frac{\cot(\frac{\pi}{3})}{4} + \frac{\cot(\frac{\pi}{4})}{4} = -\frac{1/\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{4\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{12}$. Ответ: $\frac{3-\sqrt{3}}{12}$.

13) Вычислим интеграл $\int_{25}^{36} \sqrt{x} dx = \int_{25}^{36} x^{1/2} dx$. Первообразная есть $F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{25}^{36} \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}(36^{3/2}) - \frac{2}{3}(25^{3/2}) = \frac{2}{3}(6^3) - \frac{2}{3}(5^3) = \frac{2}{3}(216 - 125) = \frac{2}{3} \cdot 91 = \frac{182}{3}$. Ответ: $\frac{182}{3}$.

14) Вычислим интеграл $\int_{1}^{64} \sqrt[6]{x} dx = \int_{1}^{64} x^{1/6} dx$. Первообразная есть $F(x) = \frac{x^{7/6}}{7/6} = \frac{6}{7}x^{7/6}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{1}^{64} \sqrt[6]{x} dx = \frac{6}{7}(64^{7/6}) - \frac{6}{7}(1^{7/6}) = \frac{6}{7}((2^6)^{7/6}) - \frac{6}{7}(1) = \frac{6}{7}(2^7) - \frac{6}{7} = \frac{6}{7}(128 - 1) = \frac{6 \cdot 127}{7} = \frac{762}{7}$. Ответ: $\frac{762}{7}$.

15) Вычислим интеграл $\int_{-8}^{7} \sqrt{8-x} dx = \int_{-8}^{7} (8-x)^{1/2} dx$. Первообразная есть $F(x) = \frac{(8-x)^{3/2}}{3/2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{3}(8-x)^{3/2}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-8}^{7} \sqrt{8-x} dx = -\frac{2}{3}(8-7)^{3/2} - (-\frac{2}{3}(8-(-8))^{3/2}) = -\frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{2}{3}(16)^{3/2} = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3}(4^3) = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 64 = \frac{2}{3}(64-1) = \frac{2 \cdot 63}{3} = 2 \cdot 21 = 42$. Ответ: $42$.

16) Вычислим интеграл $\int_{\pi/15}^{\pi/5} \cos(5x - \frac{\pi}{6}) dx$. Первообразная есть $F(x) = \frac{\sin(5x - \frac{\pi}{6})}{5}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{\pi/15}^{\pi/5} \cos(5x - \frac{\pi}{6}) dx = \frac{\sin(5\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{6})}{5} - \frac{\sin(5\frac{\pi}{15} - \frac{\pi}{6})}{5} = \frac{\sin(\pi - \frac{\pi}{6})}{5} - \frac{\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6})}{5} = \frac{\sin(\frac{5\pi}{6})}{5} - \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{5} = \frac{1/2}{5} - \frac{1/2}{5} = 0$. Ответ: $0$.

17) Вычислим интеграл $\int_{\ln 7}^{\ln 12} e^x dx$. Первообразная для $f(x)=e^x$ есть $F(x)=e^x$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{\ln 7}^{\ln 12} e^x dx = [e^x]_{\ln 7}^{\ln 12} = e^{\ln 12} - e^{\ln 7} = 12 - 7 = 5$. Ответ: $5$.

18) Вычислим интеграл $\int_{2}^{4} 3^x dx$. Первообразная для $f(x)=3^x$ есть $F(x)=\frac{3^x}{\ln 3}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{2}^{4} 3^x dx = [\frac{3^x}{\ln 3}]_{2}^{4} = \frac{3^4}{\ln 3} - \frac{3^2}{\ln 3} = \frac{81 - 9}{\ln 3} = \frac{72}{\ln 3}$. Ответ: $\frac{72}{\ln 3}$.

19) Вычислим интеграл $\int_{-12}^{0} e^{x/6} dx$. Первообразная для $f(x)=e^{x/6}$ есть $F(x)=\frac{e^{x/6}}{1/6} = 6e^{x/6}$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-12}^{0} e^{x/6} dx = [6e^{x/6}]_{-12}^{0} = 6e^{0/6} - 6e^{-12/6} = 6e^0 - 6e^{-2} = 6 - 6e^{-2} = 6(1 - e^{-2})$. Ответ: $6(1 - e^{-2})$.

20) Вычислим интеграл $\int_{4}^{64} \frac{dx}{x}$. Первообразная для $f(x)=\frac{1}{x}$ есть $F(x)=\ln|x|$. На отрезке $[4, 64]$ $x>0$, поэтому $F(x)=\ln x$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{4}^{64} \frac{dx}{x} = [\ln x]_{4}^{64} = \ln 64 - \ln 4 = \ln(\frac{64}{4}) = \ln 16$. Ответ: $\ln 16$.

21) Вычислим интеграл $\int_{e^3}^{e^8} \frac{5}{x} dx = 5 \int_{e^3}^{e^8} \frac{dx}{x}$. Первообразная есть $F(x)=5\ln x$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{e^3}^{e^8} \frac{5}{x} dx = [5\ln x]_{e^3}^{e^8} = 5\ln(e^8) - 5\ln(e^3) = 5 \cdot 8 - 5 \cdot 3 = 40 - 15 = 25$. Ответ: $25$.

22) Вычислим интеграл $\int_{3}^{9} (x^2 - \frac{2}{x}) dx$. Первообразная есть $F(x) = \frac{x^3}{3} - 2\ln|x|$. На отрезке $[3, 9]$ $x>0$, поэтому $F(x)=\frac{x^3}{3} - 2\ln x$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{3}^{9} (x^2 - \frac{2}{x}) dx = [\frac{x^3}{3} - 2\ln x]_{3}^{9} = (\frac{9^3}{3} - 2\ln 9) - (\frac{3^3}{3} - 2\ln 3) = (\frac{729}{3} - 2\ln(3^2)) - (9 - 2\ln 3) = (243 - 4\ln 3) - (9 - 2\ln 3) = 243 - 9 - 4\ln 3 + 2\ln 3 = 234 - 2\ln 3$. Ответ: $234 - 2\ln 3$.

23) Вычислим интеграл $\int_{2}^{8} \frac{dx}{3x-4}$. Первообразная для $f(x) = \frac{1}{3x-4}$ есть $F(x)=\frac{1}{3}\ln|3x-4|$. На отрезке $[2, 8]$ выражение $3x-4 > 0$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{2}^{8} \frac{dx}{3x-4} = [\frac{1}{3}\ln(3x-4)]_{2}^{8} = \frac{1}{3}\ln(3 \cdot 8 - 4) - \frac{1}{3}\ln(3 \cdot 2 - 4) = \frac{1}{3}\ln(20) - \frac{1}{3}\ln(2) = \frac{1}{3}(\ln 20 - \ln 2) = \frac{1}{3}\ln(\frac{20}{2}) = \frac{1}{3}\ln 10$. Ответ: $\frac{1}{3}\ln 10$.

24) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{2} \frac{dx}{2x-7}$. Первообразная для $f(x) = \frac{1}{2x-7}$ есть $F(x) = \frac{1}{2}\ln|2x-7|$. По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-1}^{2} \frac{dx}{2x-7} = [\frac{1}{2}\ln|2x-7|]_{-1}^{2} = \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 2 - 7| - \frac{1}{2}\ln|2 \cdot (-1) - 7| = \frac{1}{2}\ln|-3| - \frac{1}{2}\ln|-9| = \frac{1}{2}\ln 3 - \frac{1}{2}\ln 9 = \frac{1}{2}(\ln 3 - \ln(3^2)) = \frac{1}{2}(\ln 3 - 2\ln 3) = \frac{1}{2}(-\ln 3) = -\frac{1}{2}\ln 3$. Ответ: $-\frac{1}{2}\ln 3$.