Номер 84, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Найдите:

1) $\int (x^2 + 5x)^2 dx;$

2) $\int \sin^2 \frac{x}{4} dx;$

3) $\int \sin 8x \sin 5x dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int(x^2 + 5x)^2 dx$ сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x^2 + 5x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5x + (5x)^2 = x^4 + 10x^3 + 25x^2$.
Теперь интегрируем полученный многочлен почленно, используя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$\int (x^4 + 10x^3 + 25x^2) dx = \int x^4 dx + \int 10x^3 dx + \int 25x^2 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + 10 \frac{x^{3+1}}{3+1} + 25 \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^5}{5} + 10 \frac{x^4}{4} + 25 \frac{x^3}{3} + C = \frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{2}x^4 + \frac{25}{3}x^3 + C$.
Ответ: $\frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{2}x^4 + \frac{25}{3}x^3 + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \sin^2 \frac{x}{4} dx$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{4}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$.
Подставляем в интеграл:
$\int \sin^2 \frac{x}{4} dx = \int \frac{1 - \cos(\frac{x}{2})}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(\frac{x}{2})) dx = \frac{1}{2} (\int 1 dx - \int \cos(\frac{x}{2}) dx)$.
Находим интегралы по отдельности:
$\int 1 dx = x$.
$\int \cos(\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{1/2} \sin(\frac{x}{2}) = 2\sin(\frac{x}{2})$.
Собираем все вместе:
$\frac{1}{2} (x - 2\sin(\frac{x}{2})) + C = \frac{x}{2} - \sin(\frac{x}{2}) + C$.
Ответ: $\frac{x}{2} - \sin(\frac{x}{2}) + C$.

3) Для нахождения интеграла $\int \sin 8x \sin 5x dx$ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
В нашем случае $\alpha = 8x$ и $\beta = 5x$.
$\sin 8x \sin 5x = \frac{1}{2}(\cos(8x - 5x) - \cos(8x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x - \cos 13x)$.
Подставляем полученное выражение в интеграл:
$\int \frac{1}{2}(\cos 3x - \cos 13x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 3x - \cos 13x) dx = \frac{1}{2} (\int \cos 3x dx - \int \cos 13x dx)$.
Используя формулу $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C$, получаем:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin 3x - \frac{1}{13} \sin 13x) + C = \frac{1}{6} \sin 3x - \frac{1}{26} \sin 13x + C$.
Ответ: $\frac{1}{6} \sin 3x - \frac{1}{26} \sin 13x + C$.